“勾股定理小结与思考”教学设计与反思

■陈冠军

一、教学目标

熟识勾股定理及勾股定理的逆定理，能将实际问题建模转化为数学问题，能灵活应用所学知识解决问题，同时渗透方程、转化等数学思想，进一步发展“有条理地思考”和“有条理地表达”的能力，体会数学的应用价值。

二、教学重点

将知识点形成链，建立相互关联的知识结构，掌握科学的学习方法。

三、教学难点

构造直角三角形并借助方程、分类等思想解决数学问题。

四、教学流程

1.情境导学，明晰内容。

师：勾股定理是人类的宝贵财富，勾股定理及其逆定理在现实生活中有广泛的应用。本章我们一起研究过它——直角三角形（板书），今天我们将一起复习这一章。本章我们学习了哪些数学知识和数学方法？大家能取其要点，构建框图吗？

生1展示构建的知识框图，如图1。学生之间相互点评。

图1

2.多元评学，以情励学。

师：本章我们学习了勾股定理、勾股定理的多种证法，用不同的方法计算同一个图形的面积，还有勾股定理的逆定理以及勾股定理、勾股定理逆定理在现实生活中的应用等。接下来，我们来看几个问题。

师：例题1，（1）如图2，已知在△ABC中，∠B=90°，一条直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c满足c2=。

图2

生2：根据勾股定理，可得c2=b2-a2。

师：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°。

图3

师：请同学们分小组合作，完成以上问题。

小组推荐代表1：已知直角三角形的两条直角边，求斜边。根据勾股定理，得c2=a2+b2=32+42=9+16=25，解得c=5或-5。∵c＞0，∴c=5。

小组推荐代表2：已知直角三角形的一条直角边，一条斜边，求另一条直角边。根据勾股定理，得c2=a2+b2，102=62+b2，b2=64，解得b=8或-8。∵b＞0，∴b=8。

小组推荐代表3：可设a=3k，b=4k（k＞0）。根据勾股定理，得c2=a2+b2，求得c=5k（负值舍去），则

师：通过例题1，我们初步复习了勾股定理、勾股定理的逆定理。接下来，我们继续看例题2。

师：例题2，（1）如图4，以Rt△ABC的三边a、b、c为边，向外作正方形，正方形面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3有什么关系？

图4

生3：∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，又∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S1+S2=S3。

师：（2）以Rt△ABC的三边a、b、c为边，向外作等腰直角三角形（如图5），等腰直角三角形面积分别为S1、S2、S3，或者以三边a、b、c为直径，向外作半圆（如图6），半圆的面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3有什么关系？

图5

图6

教师组织学生进行生生合作，共同探究得出S1+S2=S3。

师：（3）以△ABC的三边a、b、c为边，向外作正方形（如图4），或等腰直角三角形（如图5），或以三边为直径的半圆（如图6）。若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？

师：这实际上是将之前问题的条件和结论互换，这样变式，结论成立吗？

教师“导”，学生“学”，学生在“对学”和“群学”中共同研究问题，解决问题，得出△ABC始终是直角三角形。

师：例题3，（1）已知，如图7，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10，求BE的长。

图7

师：由AB=8，BC=10，易知哪些线段的长？请在图中标出来。

师：在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来。

师：由DF的长，你还可以求出哪条线段的长？请在图中标出来。

师：设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来。

师：你在哪个直角三角形中，可以应用勾股定理建立方程？你建立的方程是

通过以上对比分析，利用阅读的外围去理解浅阅读，都失之偏颇。笔者认为，浅阅读的浅应该更着重于阅读本身，在阅读的过程中，都是有浅入深的一个渐进过程。参与时间短、轻思考，即为浅阅读，参与时间多、重思考，即为深阅读。无论你读的是什么书，目的怎样，读者是谁，无一不需要经过这个过程。那么，在由浅入深的这个过程中，首先都要进入浅阅读，而在浅阅读之后，经过主体自身的判断，是否需要进入深阅读。

生4：在Rt△DCF中，∵FC=BC=10，CD=8，在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=8-x，∴42+（8-x）2=x2。

师：（2）如图8，折叠长方形纸片，先折出对角线BD这条折痕，再折叠，使点A落在BD上的E处，折痕为DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。

图8

生5在黑板上板演：设AG的长为xcm，则x2+22=（4-x）2，解得解答过程略）。

师：还能用其他方法求AG的长吗？

师：刚才我们以翻折问题为载体，利用方程思想，用“勾股定理”和“面积法”求出了AG的长。在生活中，我们也会遇到“最短路线问题”，下面我们一起来看例题4。

3.以练促学，当堂反馈。

师：例题4，如图9，一条河同一侧有两个村庄A、B。A、B到河岸的最短距离分别为AC=1km，BD=2km。已知CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水。水泵站建在河岸上何处时，从水泵站到A、B两村铺设的水管总长度最短？请求出最短距离。

图9

生7：作点A关于河流所在直线的对称点A′，连接A′B，交河流所在直线于点P，点P即为所求，BE=3，A′E=4，∴A′B=5。

师：这个最短路线问题，需从无到有去构建“直角三角形”，再利用勾股定理解决问题。

师：例题5，图10是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点。有一只蚂蚁在A点，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

图10

生8：可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为xdm，如图11，由勾股定理，得x2=202+［（2+3）×3］2=252，解得x=25。

图11

师：这个最短路线问题渗透了分类思想。借助于分类，我们可将复杂的问题简单化。

4.回顾反思，学程总结。

师：通过本节课的学习，请大家谈一谈收获。

学生各抒己见。

五、教学反思

张卫明名师工作室提倡“学生的实践研究应该指向高阶思维”，主张“在课堂教学中，应将低阶思维和高阶思维活动共同构成一个多样化的、由低到高的层次式的课堂核心活动群，这样才能实现在发展学生低阶思维的同时，推动其高阶思维的发展，进而实现课堂教学的有效性”，并提炼出“学程导航”的教学范式。

在设计本节课时，笔者从发展低阶思维的“勾股定理的直接应用”入手，层层递进到发展高阶思维的“勾股定理在较复杂问题背景下的应用”，由低到高，体现了思维的发展。“学程导航”教学范式需要教师的“导”和学生的“学”共同作用来实现。充分而不过分的导尤为重要，能使学生自主地开展建构活动，构建一章的知识框图，归纳重难点、易错点。本节课中，笔者通过“教”“学”“用”教学环节，配以“独学、对学和群学”等学习方式，让学生独立完成数学问题，在对学和群学中共同研究问题，解决问题，进而形成高阶思维。如探究“最短路线问题”，笔者通过创设情境、提供任务的方式，保证了探究的充分和有效，同时，学生也完成了自我建构和共同建构，在课堂学习中优先指向高阶思维目标的达成。笔者教方法，学生学方法，之后用方法迁移。所以，在教学过程中，教师应将学习知识的过程还给学生，通过对知识的深度等级划分，找到“不可教”的地方，然后把“不可教”之处让渡给学生。