三角形的三边关系在一类问题中的应用

范林　李艳

近几年来，在江苏各地高三模拟试题中，发现一类关于隐含三角形三边关系的题型常常出现，学生感到很难下手，找不到突破口.本文通过几个例题，让大家感受如何挖掘题目中隐含的三角形三边关系.

例1已知△ABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则ba的取值范围为.

分析从题目中的结果出发，利用三角形的三边关系，消去变量c.

解因为b+2c≤3a，所以2c≤3a-b.

因为两边之差小于第三边，

所以c>a-b，c>b-a，

即3a-b>2（a-b），

3a-b>2（a-b），解得a+b>0，

5a>3b.

所以ba<53.

因为c+2a≤3b，所以c≤3b-2a.

因为c>a-b，c>b-a，

所以3b-2a>a-b，

3b-2a>b-a，解得4b-3a>0，

2b-a>0.

即ba>34.又由于ba<53，所以34

评注本题可以用题目中两个条件和三角形三边关系，同时除以a后，再换元，用线性规划方法处理.

例2已知三角形ABC的三边长为a，b，c，满足b+c≤2a，c+a≤2b，求ca的取值范围.

分析从题目中的结果出发，利用三角形的三边关系，消去变量b.

解由题意知

b+c≤2a，

c+a≤2b，

a+b>c，

a+c>b，

b+c>a，同时除以a，得到ba+ca≤2，

ca+1≤2（ba），

1+ba>ca，

1+ca>ba，

ba+ca>1.

令ca=x （x>0）， ba=y （y>0），

所以x+y≤2，

x+1≤2y，

1+y>x，

1+x>y，

x+y>1.

其可行性区域如图1所示，

所以0

即0

例3已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列且a2+b2+c2=84，求b的取值范围.

分析三角形三边成等差数列，想到三个数成等差数列的常用设法，设公差大于等于0，简化计算.

解令a=b-d，c=b+d （d≥0），

由于a2+b2+c2=84，

则（b-d）2+b2+（b+d）2=84，

所以3b2+2d2=84，即2d2=84-3b2.

由于d2≥0，所以0

因为任意两边之和大于第三边，c为最大边，

所以a+b>c，即2b-d>b+d，即b>2d，即b2>4d2，

所以b2>2（84-3b2），即b2>24，b>26.

又因为0

评注不少学生的答案是0

例4在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=ac，求sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范围.

分析从结果出发，遇切化弦，根据条件转化成边，利用三角形三边关系求解.

解sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC=sinA+cosAsinCcosCsinB+cosBsinCcosC

=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sin（A+C）sin（B+C）=sinBsinA=ba.

由三角形三边关系得到b2=ac，

a+b>c，

a+c>b，

b+c>a，

a>0，b>0，c>0，

所以b2

b2>a（a-b），②

b2>a（b-a）.③

由①得（ba）2-ba-1<0，则0

由②得（ba）2+ba-1>0，则ba>5-12，

由③得（ba）2-ba-1>0，则ba∈R，

所以5-12

以上是对三角形三边关系应用的初步研究，在解题时，要善于挖掘题目中三角形隐含条件，构造不等式或转化.