2021年新高考Ⅰ卷第21题的溯源与推广

高继浩

(四川省名山中学 625100)

1 试题再现

(1)求C的方程；

2 教材溯源

高中数学教材是高考数学命题的蓝本,上述题目1源于人教A版高中数学教材选修4-4第38页的例题.

题目2 如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.

求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

图1

题目1是已知线段长度关系求两线斜率关系,题目2是已知角度关系(建系后即为两线倾斜角或斜率关系)找线段长度关系.教材上紧接此题有一探究：如果把椭圆改为双曲线,是否会有类似的结论？题目1考查的正是双曲线的情形.因此,平时教学应用好教材,学透教材,高三复习时更应回归教材.

3 结论推广

由特殊到一般可以很好地培养和提升逻辑推理、数学抽象和直观想象等数学核心素养.试题中曲线C为双曲线的一支,对其进行一般化推广,我们得到：

代入双曲线方程整理，得

则b2cos2α-a2sin2α≠0,且此关于t的一元二次方程有两个根,设这两个根分别为t1,t2,则

|TA|·|TB|=|t1|·|t2|=|t1t2|

由T与A,B和P,Q的位置关系知

故|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|

⟺b2cos2α-a2sin2α=b2cos2β-a2sin2β

⟺b2cos2α+a2cos2α=b2cos2β+a2cos2β

⟺cos2α=cos2β

⟺cosα=-cosβ

⟺α+β=π.

故|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|

⟺b2cos2α-a2sin2α=a2sin2β-b2cos2β

⟺b2(cos2α+cos2β)=a2(sin2α+sin2β)

取消结论1中“同一支”的条件限制,由以上证明过程可知：

在椭圆中有：

结论3、结论4的证明过程与结论1、结论2类似，此处略.

在抛物线中有：

结论5 过不在抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点T作两条直线,分别交抛物线C于A,B两点和P,Q两点,直线AB与直线PQ的倾斜角分别为α,β,则|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|的充要条件是α+β=π.

则sin2α≠0,且此关于t的一元二次方程有两个根,设这两个根分别为t1,t2,则

|TA|·|TB|=|t1|·|t2|=|t1t2|

同理可得

故|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|

⟺sin2α=sin2β

⟺sinα=sinβ

⟺α+β=π.