自仿射接触点下的结合面静摩擦系数分形模型

2022-02-24张学良温淑花姚世生贾广宁张茜茜

太原科技大学学报 2022年1期

张伟，张学良，温淑花，姚世生，贾广宁，张茜茜，陈赟

(太原科技大学机械工程学院，太原 030024)

结合面在机械机构中大量存在，通常把机械结构中零件、组件、部件之间相互接触的表面称为结合面[1]。研究和预测机械结构中结合面的摩擦具有十分重要意义[2]。静摩擦系数作为摩擦学的两个重要参数之一，对其的研究是不容忽视的。1988年Chang等[3]在GW模型的基础上通过考虑弹性接触点承受切向载荷的能力，建立了结合面静摩擦系数统计模型(简称为CEB摩擦模型)。然而CEB模型中所使用的统计学参数只能反映与仪器分辨率及取样长度有关的结合面粗糙度信息。以这些参数为基础建立的模型对结合面静摩擦系数的预测结果也就不是唯一的，盛选禹等[4]在MB分形模型的基础上，建立了结合面静摩擦因数预测模型。田红亮等[5-6]对结合面分形理论进行改进，进一步研究建立了结合面静摩擦因数分形模型。但是MB模型中却只利用W-M函数中波长为l的余弦函数代表微凸体来推导接触点上压力和面积的关系，这与粗糙表面具有统计自仿射分形特性不符。

基于前人的研究并针对上述的不足，本文在文献[7]的研究基础上建立了基于自仿射接触点的结合面静摩擦系数分形模型，通过数值仿真分析并讨论了结合面分形参数以及无量纲法向接触载荷对静摩擦系数的影响规律。

1 基于自仿射接触点的结合面静摩擦系数分形模型

1．1 传统MB模型的修正

为便于读者理解此处先给出自仿射接触点在分形结合面的概念，自仿射接触点即由多个单余弦函数叠加而成的接触点，具有统计自仿射性，与传统MB分形模型简化后给出的单余弦函数表述的微凸体截然不同。传统MB模型中给出具有分形特征的各向同性的粗糙表面的表面形貌可用W-M函数来描述，其表达式为：

(1)

若忽略更小尺度上的细节，则在l范围内的轮廓线可以由W-M函数确定其数学表达式近似为余弦波，即：

(2)

式中：l为接触长度；G为分形特征长度尺度参数；D为分形维数。

由式(1)可以清楚地看到利用W-M函数生成的分形表面微凸体表现为多个余弦函数叠加而成且具有统计自仿射性。而在MB模型中将其简化后利用单余弦函数近似模拟微凸体(式(2))，这样不仅使结合面微凸体失去了统计自仿射性，也必然会导致计算结果的不准确，因此本文使用文献[7]中自仿射接触点的概念修正MB模型，并基于此建立结合面静摩擦系数分形模型。这里需要说明的是本文中接触点和式(2)中简化后的微凸体的区别在于接触点是一个动态的概念，其可由诸多微凸体组合而成，比微凸体更复杂且更适合用于接触过程的研究。此外利用接触点的概念后将不必再考虑微凸体之间的相互作用，接触点自身就是微凸体相互作用的结果[7]。结合面接触点的示意图如图1所示。

图1 接触点与刚性平面的接触示意图

研究表明直径为l的接触点的变形量可表示为[7]：

(-l/2

(3)

式(3)与文献[8]中的式(1)不同。

接触点的峰顶曲率半径与面积的关系见式(4)，可以看到当接触面积为零时即当接触为一个点时微凸体接触点的半径为零，这与实际相符。

(4)

1.2 结合面法向受载建模

为简便本文中法向载荷的计算，采用文献[6]中的计算方式，各个自仿射微接触面积的分布函数为[7]：

(5)

这里的接触面积分布函数与传统MB模型中的不同。

式中：al为接触点中的最大接触面积。

根据赫兹接触理论[9]，单个接触点受载时，随着载荷的增大，将会经历从弹性到完全塑性的变形过程，由弹性变形向弹塑性变形转变的临界变形量用δc表示，研究表明[10]。

(6)

模型E1、E2和泊松比v1、v2表示为：

而由弹性变形向塑性变形转化的临界接触面积可表示为[7]：

(7)

需要特别说明的是这里G的量纲为m0.5，这与传统分形模型中如文献 [11]中的G的量纲为m不同，本文中接触点的变形规律与MB模型相同，当微凸体接触面积大于临界接触面积ac时微凸体发生弹性变形，此时接触点接触面积与接触载荷的关系为：

当微凸体接触面积小于临界接触面积ac时微凸体发生塑性变形，此时接触点接触面积与接触载荷的关系为：

Fp(a)=Kσya

(9)

根据式(5)、(8)、(9)可将结合面承担的法向载荷表示为：

(10)

为了使比较的结果具有通用性，这里把上述计算出的结合面法向载荷进行量纲一化，量纲一化后的表达式如下[7]：

(11)

1.3 结合面切向载荷建模

根据文献[12-13]可知在法向载荷下只有处于弹性变形阶段的微凸体可以承受切向载荷，故而在计算结合面静摩擦力时只有处于弹性变形状态的微凸体对静摩擦力有贡献。当接触变形微凸体所承受的切向载荷不断增大时，微凸体完全弹性变形区的接触界面最终达到完全屈服，此时的最大切向载荷为其静摩擦力。

本文模型采用文献[12-13]的假设，微凸体接触界面的屈服发生在接触点的边缘，而边缘上的应力为：

(12)

(13)

σz=τxy=τxz=τyz=0

(14)

式中：σx为与正向载荷方向相同的应力；σy为与摩擦力方向相同的应力；σz为垂直于正向载荷和法向载荷所在平面的载荷；F为单个微凸体上的法向载荷。

采用Tresca屈服条件：

(15)

其中，σs为较软材料的屈服强度。

由式(12)-式(14)的应力方程可得：

σ1=σx，σ2=σy，σ3=0

将此代入屈服条件得到当微凸体接触界面达到完全屈服时，其所能承受的最大切向载荷即最大静摩擦力为：

(16)

那么，结合面所能承受的最大静摩擦力为：

(17)

将上述Te中的参数进行量纲一化，量纲一化后的切向载荷表达式为：

(18)

I*m=G*(D-1)101.8D2-4D+3

则结合面静摩擦系数为：

(19)

2 结合面静摩擦系数分形模型的仿真与讨论

将文献[7]中的相关数据代入本文以上所建模型，运用数值仿真的方法给出了在相同分形维数下不同特征尺度系数的结合面静摩擦系数随量纲一化法向接触载荷的变化(见图2)和在相同特征尺度系数下不同分形维数的合面静摩擦系数随量纲一化法向接触载荷的变化(见图3).最后将本文的静摩擦系数分形模型与MB模型进行了比较，仿真结果如图4所示。

图3 分形维数对静摩擦系数影响的示意图

图4 本文模型(BW)与MB模型比较示意图

由图2可知结合面静摩擦系数随量纲一化结合面法向接触载荷F*的增大而增大，这与文献[4-5]中的理论研究结论一致，也与文献[6]中的理论和实验研究结果相同。这是因为分形模型中假设每个微凸体都是完全变形，大接触点通过对小接触点的不断加载而获得，如图1所示，当接触面在位置1时点a和点b由于接触面积较小致使峰顶曲率半径较小，(这一点可以从公式(4)看出)而处于塑性变形，随着载荷的增大接触的刚性平面下降，相对较小的点a和点b合成较大的点c，此时对于单个点c来说接触面积增大，应力得到释放，接触点由塑性变形转为弹性变形，由于只有处于弹性变形阶段的接触点能够承受切向载荷，对静摩擦系数有贡献，故而静摩擦系数随量纲一化结合面法向接触载荷F*的增大而增大。结合面静摩擦系数随着无量纲分形特征长度尺度参数G*的增大而减小。这与文献[4-6]中的研究结果相同。

图2 特征尺度系数对静摩擦系数影响的示意图

由图3可知结合面静摩擦系数随量纲一化结合面法向接触载荷F*的增大而增大，随分着形维数的增大而增大，这与文献[4-6]中的结论一致。下面给出本文的静摩擦系数分形模型与基于MB模型的结合面静摩擦系数分形模型[4]仿真的比较图。

图4给出了分形维数D分别为1.3、1.35、1.4、1.45时G*从3E-9～7E-9的结合面静摩擦系数随量纲一化结合面法向接触载荷的变化规律图，并与基于MB模型的结合面静摩擦系数分形模型进行了比较，由图4可知当D=1.3时MB模型对结合面静摩擦系数的预测结果比本文模型大，当D=1.35、1.4、1.45时MB模型对结合面静摩擦系数的预测结果比本文模型小，这一点可以从文献[7]中得到很好的解释，随着分形维数的增加接触点多余弦叠加的效果越显著，自仿射接触点的最大变形量要比用单余弦函数描述的微凸体产生的最大变形量大，即同等条件下本文模型中接触点要比传统MB分形模型中的微凸体提前进入弹性变形，而只有弹性变形的接触点对静摩擦系数有贡献，因此随着分形维数的增大，MB模型对结合面静摩擦系数的预测结果比本文模型小。两种模型仿真结果趋势相同，说明了本文模型的合理性。