二项式问题解法探究

廖永福

(福建省厦门第二中学)

二项式定理是乘法公式的推广，是排列组合的应用，也是学习随机变量及其分布的基础.高考中二项式定理的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度基础或中等，主要体现在以下四个方面:1)应用通项公式;2)应用二项式系数的性质;3)应用二项式定理;4)应用转化与化归思想.

1 应用通项公式

(a＋b)n的通项 公式是Tk＋1＝(其 中k≤n，k∈N，n∈N*)，凡涉及二项展开式的项或系数的问题，均可考虑用通项公式求解.

1.1 求特定项

例1(2019年浙江卷13)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_________.

分析写出二项展开式的通项，根据常数项、系数为有理数的项的要求即可作答.

解二项展开式的通项为

当k＝0时，得常数项

当k＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是5.

点评

本题属于基础题，主要考查二项展开式中特定项的求法，解题关键在于熟练掌握二项展开式的通项，熟悉常数项和系数为有理数的项的特点.

变式(2020年全国Ⅲ卷理14)的展开式中常数项是_________(用数字作答).

答案240.

1.2 求特定项的系数

例2(2018年全国Ⅲ卷理5)的展开式中x4的系数为( ).

A.10 B.20 C.40 D.80

分析利用二项展开式的通项公式求解.

解的展开式的通项为

由10－3k＝4，得k＝2，所以的展开式中x4的系数为故选C.

点评

本题属于基础题，主要考查二项展开式中特定项的系数的求法，解题关键在于熟练掌握二项展开式的通项公式.

变式(2018年天津卷理10)在的展开式中，x2的系数为_________.

答案

1.3 已知特定项或特定项之间的关系，求参数的值

例3设a∈R，若的二项展开式中的常数项相等，则a＝________.

分析分别求出两个二项式的常数项，再列方程即可求出a.

解的展开式的通项为

由18－3k＝0，得k＝6，所以的展开式中的常数项为的展开式的通项为

由9－3r＝0，得r＝3，所以的展开式的常数项为解得a＝4.

点评

本题属于中档题，主要考查已知两个二项式特定项之间的关系求参数，解题关键在于熟练掌握二项展开式的通项公式，并熟悉特定项的特点.

变式(2017年山东卷理11)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.

答案4.

2 应用二项式系数的性质

凡涉及二项式系数的问题，均可考虑应用性质求解.(a＋b)n的展开式的二项式系数有如下性质.

例4(2016年上海卷理8)在的二项展开式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.

分析根据二项式系数的性质(3)可求n，再用通项公式可求常数项.

解在的二项展开式中，因为所有的二项式系数之和为256，所以2n＝256，解得n＝8.所以得k＝2，所以常数项为

点评

本题属于中档题，主要考查二项式系数的性质和二项展开式的通项，解题关键在于熟练掌握二项式系数的性质.

例5(2013年全国Ⅰ卷理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

分析根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程求得m的值.

解m为正整数，由(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a以及二项式系数的性质(2)，可得a＝.同理，由(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，可得

因为13a＝7b，所以，即

化简得13(m＋1)＝7(2m＋1)，解得m＝6.故选B.

点评

本题属于中档题，主要考查二项式系数的性质和组合数的计算公式，解题关键在于熟练掌握二项式系数的性质.

变式(2015年湖北卷理3)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ).

A.212B.211C.210D.29

答案D.

3 应用二项式定理

二项式定理为(a＋b)n＝＋＋…＋＋…＋，n∈N*.对于一些次数较小的二项展开式问题，可直接应用二项式定理展开再求解.

例6(2020年浙江卷12)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝_________，a1＋a3＋a5＝_________.

分析直接利用二项式定理展开(1＋2x)5，可得a1，a3，a4，a5，或用通项公式直接求a4，再令x＝±1，联立方程组求出a1＋a3＋a5的值.

解 法1由(1＋2x)5＝＋(2x)1＋(2x)2＋(2x)3＋C45(2x)4＋C55(2x)5＝1＋10x＋40x2＋80x3＋80x4＋32x5，得a1＝10，a3＝80，a4＝80，a5＝32，所以a1＋a3＋a5＝10＋80＋32＝122.

解法2由题意得a4＝C4524＝80.

当x＝1时，有

当x＝－1时，有

①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.

点评

本题属于中档题，主要考查二项式定理和多项式性质的应用，熟练掌握二项式定理和多项式的性质是解题的关键.

例7(2019年江苏卷22)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已 知＝2a2a4.

(1)求n的值;

分析(1)应用二项式定理展开(1＋x)n，可得a2，a3，a4，再根据＝2a2a4列方程求n.(2)应用二项式定理展开(1＋)n，对照可得a，b，进而求出a2－3b2的值.注意到a，b∈N*，故由再将两式相乘即可.

点评

本题属于中档题，主要考查二项式定理和组合数公式的运用，熟练掌握二项式定理是解题的关键.

变式(2021年浙江卷13)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝_________，a2＋a3＋a4＝.

答案5，10.

4 应用转化与化归思想

遇到比较复杂的二项式问题，可先设法将其转化为上述常规的二项式问题，再应用相应的方法求解.

4.1 两个二项式的积的问题

例8(2020年全国Ⅰ卷理的展开式中x3y3的系数为( ).

A.5 B.10 C.15 D.20

分析因为的展开式

因 为(x＋y)5的 通 项 公 式 为(k∈N且k≤5)，所以的展开式中x3y3的系数为C35＋C15＝10＋5＝15.故选C.

点评

本题属于中档题，主要考查二项式定理及其展开式的通项公式，转化是解题的关键.

变式(2019年全国Ⅲ卷理4)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

答案A.

4.2 三项式问题

例9(2015年全国Ⅰ卷理10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

分析把x2＋x看作一个整体，可以利用二项展开式的通项求解，也可以利用组合数原理求解.

解(x2＋x＋y)5的二项展开式的通项公式为

令k＝2，则(x2＋x)3的通项为Cr3(x2)3－rxr＝Cr3x6－r(r∈N，r≤3).

令6－r＝5，则r＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.

点评

本题属于中档题，主要考查二项式定理和组合数原理的运用，将三项式问题转化为二项式问题是解题的关键.

变式(2015年上海卷理11)在的展开式中，x2项的系数为_________(结果用数值表示).

答案45.中x3y3的系数之和即为所求.

解