利用“对称性”巧解碰撞问题

2022-02-22李维富

高中数理化 2022年2期

李维富

（云南省昭通市第一中学）

碰撞问题是动量守恒定律应用中的经典问题.在求解碰撞后的速度时，如果是完全非弹性碰撞，计算会很简单，但如果是弹性碰撞，涉及二元二次方程组的求解，计算难度比较大.通过分析，可以看出弹性碰撞中蕴含“等差数列”的思想，弹性碰撞是关于共速时刻“对称”的，利用这种“对称性”可以很容易地对碰撞后的速度进行求解，对这种“对称性”进行拓展运用，还可以快速分析其他一些碰撞类问题.

1 问题的引出

例1如图1所示，在光滑水平地面上，质量分别为m1＝3kg、m2＝1kg的A、B两小球分别以速度v1＝10m·s－1、v2＝2m·s－1开始同向运动，发生弹性碰撞，求碰后的速度v′1和v′2.

图1

分析在弹性碰撞过程中，遵循动量守恒定律和机械能守恒定律，所以有

联立上面两式求得

将数据代入式③④可得

解决上述例题需要学生求解二元二次方程组，比较困难，所以经常要求学生记住③④两式.然而在教学过程中发现，很多学生记不住，即使记住了也很可能混淆.能不能找到一种既不需要记公式又能快速求解的方法呢?答案是“能”.

2 对于弹性碰撞问题的巧妙解答

在图1的碰撞情境中，根据碰撞条件可知，两小球碰撞之前有v1＞v2，碰撞之后有v′1＜v′2，由此可推知在碰撞过程中一定有个时刻两小球速度相等，设为v共.根据碰撞全程动量守恒，可得

根据数学关系可看出上述的v1、v共、v′1构成等差数列，公差为还可以看出v2、v共、v′2也构成等差数列，公差为.利用这一思想，可以快速计算前面例1中的问题.

由式⑤可以算得v共＝8 m·s－1，再由v1、v共、v′1构成等差数列，可得v′1＝6m·s－1.同理可得

式⑤相比式③、④要好记得多，也可以不用记忆，直接根据动量守恒定律快速求解出v共，然后再利用等差数列的思想快速求解碰后速度v′1和v′2.

3 关于“等差数列”的思考

对于“等差数列”的思想，还可以换个角度来证明.在图1的碰撞情境中，根据弹性碰撞的特点，我们得到了①、②两式.

式①变形可以得到

式②变形可以得到

用⑦÷⑥可得到v1＋v′1＝v2＋v′2，或改写成

式⑧中v1－v2代表碰前A、B两小球相互靠近的相对速度，v′2－v′1代表碰后两小球逐渐远离的相对速度，二者相等.

在图1的碰撞过程中，因为小球A、B之间的相互作用，A会减速(也可能是减为0后反向加速)，B会加速，可将两球碰撞过程的速度—时间(v-t)图像画出，如图2所示(考虑到两小球并不是做匀变速直线运动，故将之画为虚线).

图2

碰撞过程在0～t2这段时间完成.在这段时间内小球A的速度从v1(C点)减为v′1(G点)，小球B的速度从v2(D点)增为v′2(F点)，在碰撞过程中的t1时刻两小球共速(E点).CD段长度代表两小球碰前的相对速度v1－v2，FG段长度代表两小球碰后的相对速度v′2－v′1，前面已经证明二者相等，由此很容易看出△CDE≌△GFE.因为△CDE≌△GFE，故C、G两点关于E点对称，所以v1、v共、v′1构成等差数列；同理，v2、v共、v′2也构成等差数列.

从图2中还可以看出，两小球碰撞过程中共速的时刻t1刚好是整个弹性碰撞全程0～t2时间的中间时刻，弹性碰撞碰前和碰后的速度是关于共速时刻“对称”的.

4 关于“对称性”的拓展应用

我们还可以换个角度来认识碰撞类问题.

从图2可以看出，碰撞不会在t1时刻之前结束，因为在那之前A球速度大于B球速度，与碰撞情境相悖，碰撞可能结束的时刻t应满足t1≤t≤t2.

若碰撞在t1时刻就结束，那就是完全非弹性碰撞，碰后两小球共速，相对速度为0.

若碰撞在t2时刻结束，那就是弹性碰撞，碰后两小球相对速度(A对B)等于碰前相对速度(B对A).

若碰撞在t1～t2之间的某个时刻结束，则是一般的非弹性碰撞，这时A球速度还未减到v′1，B球速度还未增到v′2，两小球的相对速度小于v′2－v′1，也就是小于碰前的相对速度.

综上分析可知，无论什么碰撞，碰后的相对速度不会大于碰前的相对速度.

例2如图3所示，在光滑的水平地面上质量为m的物体A以速度v0与静止的质量为2m的物体B发生碰撞，则碰撞后物体A的速度大小可能是( ).

图3

分析本题未说明A、B之间发生什么碰撞，需要分类讨论.若A、B发生完全非弹性碰撞，碰后的共同速度根据动量守恒很容易算出，为若A、B发生弹性碰撞，根据“对称性(等差数列)”的思想可算出碰后A、B的速度分别为.因为碰撞结束时刻只能在t1≤t≤t2范围内，借助v-t图像，可以看出碰后B的速度范围是同时可以看出碰后A的速度大小的范围是的速度范围是，如图4所示，故选C、D.