点击机械波的多解问题

林 瀚

（广东省汕头市金山中学）

多解问题是机械波中的重点和难点，其产生的根本原因是机械波传播方向不确定、传播距离和波长关系不确定、振动时间和振动周期不确定等因素，以下结合例题作一探讨！

1 传播方向不确定导致多解

波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播.有些试题并未明确波的传播方向，此时，要分类讨论波的传播方向，进而出现多解.

例1一列简谐横波在介质中传播，在其传播方向上存在两个质点A和B，相距1.2m.假设在某一时刻，A质点正好由平衡位置向上运动，而B质点在波谷处.已知该波传播的速度是48 m·s－1，两质点的距离在2个波长和6个波长之间.求该波频率的最大值.

解析

若波由A向B传播，最短波长应满足

又因为v＝fλ，可得最大频率f＝210 Hz；若波由B向A传播，最短波长应满足

又因为v＝f′λ′，可得最大频率f′＝230 Hz，通过比较可知，该简谐横波的最大频率为230Hz.

点评

两个方向传播，导致两个方向的多解，由于有约束条件，即要求波速最大，波长最短，因此波长不存在多解.

2 传播距离与波长关系不确定导致多解

在波的传播方向上，相隔一个波长的质点振动步调是完全相同的，假设题目中没有具体规定波的传播距离和波长的关系，就会存在多解.

例2一列机械横波在均匀介质中沿着x轴传播，此时的波形图如图1所示.在x轴上存在着质点P和质点Q，它们的平衡位置坐标分别为0.4 m和0.7m.从该时刻开始计时：

图1

(1)如果P质点连续两次经过x轴的时间差为Δt＝0.4s，那么波的传播速度为多大?

(2)如果在0.1s时Q质点运动到波谷处，那么波的周期是多少?

解析

(1)由题意可知，波的周期

波长λ＝0.8m，根据可得

(2)若波沿x轴正方向传播，则在t时间内，波的传播距离为

波的传播速度为

周期为

若波沿x轴负方向传播，则在t时间内，波的传播距离为

波的传播速度为

周期为

点评

解题时一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…).

3 时间间隔与周期关系不确定导致多解

在波向前传播的过程中，质点在各自平衡位置两侧做简谐运动，由于简谐运动具有周期性而出现多解.

例3一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t1＝0和t2＝0.2s时的波形分别如图2中实线和虚线所示.已知该波的周期T＞0.2s.下列说法正确的是( ).

图2

A.波速一定为0.4m·s－1

B.振幅一定为0.04m

C.波长可能为0.08m

D.周期可能为0.8s

解析

因为t1＝0和t2＝0.2s时的波形分别如图2中实线和虚线所示，二者至少相差半个周期，故

而T＞0.2s，故周期T＝0.4s，选项D错误.

由图可知，波长为0.16m，故选项C错误.

由图知振幅是0.02m，选项B错误.

点评

本题在t1＝0和t2＝0.2s时的波形正好步调相反，则有…)，外加约束条件T＞0.2s，多解变为唯一解.

4 双多解

简谐运动的时间具有周期性，可得周期的多解；机械波空间运动具有周期性，可得波长的多解；根据可得速度的双多解.

例4如图3是一根绷紧的水平绳，在绳上存在着相距14m的a点和b点，已知a点处于b点的左边.现在绳中有一列简谐波向右边传播.当a点在正向最大位移处的时候，b点正好在零位移处，并且向下方运动.1s之后，a点的位移变成0，向下运动，b点正好处于负向位移最大处.那么这列波的传播速度可能为( ).

图3

A.4.67m·s－1B.6m·s－1

C.10m·s－1D.14m·s－1

解析

由题意，实线为t＝0时刻波形，虚线为t＝1s时刻波形，根据题意，标出a、b点位置，b点位置还可以是距b点为波长整数倍的b1、b2等一系列的点，所以

由于t可能大于周期T，所以

其中n和k分别是由波的概念和振动概念引出的自然数，二者是相互独立的，无一一对应关系.通过尝试可得，当n＝0，k＝0，选项A正确；当n＝1，k＝1时，选项C正确；其他选项n和k不可能同时为整数.

点评

通过尝试，先取n＝0，再将选项中的v代入公式，求k值，若k为整数，该选项正确.

质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变，在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为时，它们的振动步调总相反；对于一个确定的质点，每经过一个周期，振动重复出现，波的传播可以双向传播.以上三点是形成机械波问题多解的原因.从形成原因出发，是解决这一类问题的关键.