基于三步法的磁悬浮球系统控制研究

田 统，杨 瑶，韩光信

(吉林化工学院 信息与控制工程学院，吉林 吉林 132022)

近年来磁悬浮技术展现了良好的应用前景，除了在机械、交通、工业生产等传统产业以外，磁悬浮技术在智能家居[1]、汽车设计[2]、生物医药[3]等领域都有了全面的发展.磁悬浮球系统作为简化的磁悬浮模型，可以为其他磁悬浮技术的研究奠定基础.文献[4]在模糊控制中采用重心法解模糊，得到模糊论域范围内精确的输出量，优化了PID控制器的参数.文献[5]提出了一种基于等价输入干扰滑模观测器的模型预测控制方法，与传统的观测器相比增加了非线性观测误差反馈，这有助于提高状态估计的快速性和精确性.文献[6]提出了一种通过迭代学习规律，利用过去和当前的误差对控制信号进行不断修正,并实现预期控制效果.该算法对系统模型的依赖性不高，控制器对参数的变化不敏感，因此有较强的鲁棒性.文献[7]针对系统被控对象变化时的自适应问题,提出了一种反馈线性化和在线参数辨识相结合的非线性自适应控制方法.该方法无须在平衡位置进行线性化，并对不同对象进行了实验，结果显示其具有良好的稳态调节性能.文献[8]针对气隙速度的不可测和输出受限的问题，采用状态观测器(ESO)对系统的扰动进行观测和估计，再将扰动的估计值作为连续滑模控制器(CSMC)的补偿量，以克服不确定性和外界扰动，但抖振较为严重，抗扰动能力不强.

对于磁悬浮球系统，PID控制具有不依赖模型的优点，参数的寻优过程要占用大量的计算资源；反步控制方法的跟踪性能优越但很难保证鲁棒性；滑模变结构控制由于本身的开关不连续性，必然存在抖振问题[9].在迭代算法中，迭代方程的选择是非常关键、又非常困难的，迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，都会导致迭代失败.三步法是一种新的基于模型的非线性控制设计方法，最初是为了解决现代汽车控制工程中出现的问题，在跟踪控制方面适用性极强[10].三步法的设计思路主要是在PID控制的基础上加入了前馈控制，由类稳态控制、动态前馈控制、误差反馈控制组合而成的非线性控制器，其内部结构清晰，容易理解.本文针对磁悬浮系统的跟踪问题，基于三步法设计了非线性跟踪控制器，由仿真结果可以看出基于三步法设计的非线性控制器跟踪性能更加优越.

1 磁悬浮球系统及其数学描述

1.1 磁悬浮球系统的工作原理

磁悬浮球系统由小球、功率放大器、光电传感器和控制器所组成[11]，如图1所示.其工作原理为系统通上电之后，电磁铁产生引力将小球吸在可移动空间的顶部，改变电流大小从而操控引力，使小球离开初始位置达到新的稳定悬浮状态.

图1 磁悬浮球系统物理结构图

整个系统可以分为电磁铁电路部分和磁悬浮球的动力学两部分[12].电磁铁电路部分主要由电流感应电阻Rc和线圈电感Lc串联组成，Ic和Vc分别为流经电磁铁线圈的电流和线圈两端的电压.磁悬浮小球的动力学部分主要由小球和位置传感器组成[13]，其中m为小球质量；xb为小球位置；Fc为电磁铁产生的电磁力；Fg为小球受到的重力.另外，实际系统还配置了一个与线圈串联的电流检测电阻Rs.

1.2 磁悬浮球系统的建模

电磁铁电路部分主要通过控制电磁铁产生的磁场来控制小球的位置，而电磁铁的磁场强度由流经电磁铁线圈的电流来控制[14].在电磁铁电路方面，由基尔霍夫电压定律可以得到：

(1)

在电磁铁磁路方面，由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨伐尔定律可以得到：

(2)

其中μ0为真空磁导率；A为磁导截面积；N为线圈匝数.由于以上3个参数均为常数，故我们定义一个常数Km=-μ0AN2.

根据牛顿第二定律，对小球受力分析可得：

(3)

(4)

2 基于三步法的非线性控制器的设计

同大多数非线性控制方法一样，三步法是一种对系统数学模型具有较强依赖的非线性控制方法.其主要包含3个设计步骤，即类稳态控制、参考前馈控制、误差反馈控制，其结构如图2所示[15].

图2 三步法结构框图

将根据磁悬浮球系统模型对三步法控制器各步控制律进行推导，首先要对系统输出y进行连续求导，直到控制输出与控制输入关系的出现[16]，

(5)

(1)类稳态控制

(6)

将式(5)整理可得稳态控制律，此时u=us，

us=(Rs+Rc)x3.

(7)

因为us的当前状态并不是系统最终的稳态，所以式(7)表示的控制输入是一个类稳态控制，该控制依靠系统当前状态但并不是稳定状态.当系统的输入信号不断变化时，为了能够根据参考信号及时传送给控制量，提高系统的快速性，在此基础上引入动态前馈控制.

(2)参考动态前馈控制

(8)

将式(8)重新整理可得到前馈控制律：

(9)

(3)误差反馈控制

由于系统存在外界干扰会影响系统跟踪，所以在前两步的基础上引入误差反馈控制来提高系统跟踪性能.令u=us+uf+ue，将u代入式(6)，此时的控制律变为：

(10)

定义跟踪误差e1=y*-y，重新整理式(10)得到误差方程

(11)

对e1求导并带入上式得：

(12)

(13)

式(13)是一个仿射误差系统，为了使系统渐进稳定，需要设计合适的控制律ue.由式(13)可知系统e1，e2形式简单，可以将e3看成是子系统的虚拟控制输入，为了方便实现，将e3考虑为形式最为简单的PID结构，可写为：

(14)

(15)

为了使子系统渐近稳定，根据劳斯判据可得参数应满足：

k0<0,k2<0,k0+k1k2>0 ,

(16)

其中式(15)对于虚拟控制输入误差η是鲁棒稳定的，则存在一个Lyapunov函数V1(χ,e1,e2)满足输入-状态稳定性条件

(17)

其中α>0，γ>0.

定义Lyapunov函数为：

(18)

对式(18)进行求导得到：

(19)

由此，系统的误差反馈控制律可写为：

(20)

(21)

反馈控制部分与二阶系统相比，由原来的PID结构变成了PIDD结构，当然控制器的增益依然是状态依赖的.

结合以上推导的稳态控制、参考动态前馈控制和误差反馈控制，得总控制律：

(22)

整个控制器的推导过程简单清晰，避免了高阶非线性系统所带来的多次微分，即使系统阶次在升高，但控制器的大部分形式并没有太大的改变，保持了传统工程中的通俗易懂.

3 仿真结果与分析

在磁悬浮球系统三步法设计控制器中，需要调节的参数有4个，分别为k0,k1,k2,k3.采用试探法确定出合适的参数k0=80,k1=3 900,k2=46 000,k3=1 900.取平衡位置xb0=9 mm.图3和图4给出跟踪方波输入(0.009→0.015→0.01→0.014)的仿真结果.图5和图6给出了跟踪正弦信号r(t)=0.009+0.001sinπt的仿真曲线.作为对比，同时给出了ESO-CSMC控制策略的响应曲线[17].显然，三步非线性控制超调量小，调节时间短，并且不存在抖振现象，跟踪效果明显优于ESO-CSMC.

t/s图3 方波输入小球位置变化曲线

t/s图4 方波输入电流输出

t/s图5 正弦输入小球位置变化曲线

t/s图6 正弦输入电流输出

4 结 论

本文以单自由度磁悬浮球系统跟踪控制为研究内容，设计了一种三步非线性控制器，分别跟踪了方波、正弦两种参考输入.仿真结果表明，三步非线性控制器调节时间短、超调量小，跟踪效果好，不存在抖振，与现有控制算法相比具有一定的优越性.