涉及拟反向强单调算子零点的一个弱收敛结果及其应用

杨延涛，陈晶晶，周海云

（1.延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000；2.河北师范大学数信学院，河北 石家庄 050024）

0 引言

设H为 实 的Hilbert空 间，·，·和‖·‖分别表示H中的内积和范数，A：H→H为算子。

零点问题（zero point，ZP）是非线性算子理论的重要研究方向之一，即寻求一点x*∈H，满足

各类算子的零点问题在诸如控制论、最优化理论、信号处理、图像恢复、机器学习和交通运输等领域具有广泛的应用，是求解许多应用科学实际问题的有力工具［1-8］。

求解零点问题的经典方法是最速下降法（steepest descent method，SDM）：

其中，{tn}⊂(0，1)是满足某种条件的数列。

如果算子A：H→H是L-Lipschitz连续且强单调的，{tn}满足：

则由SDM产生的序列{xn}依范数收敛于A的唯一零点［9］。那么当A是L-Lipschitz连续的拟反向强单调算子时，由SDM产生的序列{xn}是否收敛于A的某个零点？

为此，本文采用新的分析技巧，首先证明弱收敛定理，然后运用所建立的弱收敛定理求解一类分裂公共不动点问题（SCFPP）。所得结果改进了文献［10-11］的相关结果。

1 预备知识

设H为 实Hilbert空 间，A：H→H为 算 子。N(A)：={x∈H：Ax=0}表示A的核。

定义1如果存在ν＞0和N(A)≠∅，满足

则称A：H→H为拟ν-反向强单调的。

定义2如果存在L≥1，使得

则称A：H→H为L-Lipschitz连续的。

定 义3如 果 对 任 意 的{xn}⊂H，xn⇀x和Axn→0(n→∞)，有x∈N(A)，则称A：H→H在原点为次闭的。

定义4如果对任意的x*∈C，恒有

则称序列{xn}⊂H关于C⊂H为Fejér单调的。

定义5设C为H中的非空闭凸子集，x∈C，定义 算 子PC：H→C为PC x=x0，其 中x0∈C满 足称PC为从H到C上的距离投影算子。

引理1［9］设H为实Hilbert空间，则

引理2设算子A：H→H为拟ν-反向强单调的，则N(A)≠∅闭凸。

证明首先，由定义1知，N(A)≠∅。

然后，证明N(A)是闭的。

任取{xn}⊂N(A)，xn→x(n→∞)，则

由定义1知，

因xn→x(n→∞)，故

从而Ax=0，即x∈N(A)，因此，N(A)是闭的。

最后，证明N(A)是凸的。

任取xi∈N(A)(i=1，2)，t∈(0，1)，记

由定义1知，

用(1-t)与t分别乘以式（6）和（7）两侧，然后两式相加，可得

故

即xt∈N(A)，因此N()A是凸的。

引理3［9］设{an}和{bn}为2个正实数列，满足an+1≤an+bn，n≥1，如 果存在。

引 理4［9］设C为H中 的 非 空 闭 凸 子 集，{xn}⊂H关 于C为Fejér单 调 序 列。如 果ω(xn)⊂C，则xn⇀x(n→∞)，且其中存在{xnj}⊂{xn}，使得xnj⇀x}，称为{xn}的w-极限集。

2 主要结果

定理1设H为实Hilbert空间，算子A：H→H为L-Lipschitz连续拟ν-反向强单调的。假设A在原点是次闭的，如果{tn}满足条件(C1)和（C2），则由SDM产生的序列{xn}弱收敛于

证明由引理2知，N(A)≠∅闭凸；由定义5知，PN()A唯一确定。对任意的x∈N(A)，由引理1、SDM及定义1，有

其中，对充分大的n，tn＜ν。可得

因此，{xn}关于N(A)是Fejér单调的，且对充分大的n0，有

由条件(C2)知，

为 保 证Axn→0(n→∞)，只 需 证存在即可。

事实上，由于算子A是L-Lipschitz连续的，由SDM，可得

由条件(C1)知，对n≥1，可得

由式（8）和式（9），对n≥n1，有

由 于3L故由引理3知，存在，所以

由于算子A在原点是次闭的，故

再由引理4，可知

3 应用

将定理1应用于求解一类分裂公共不动点问题。设H1和H2为2个实Hilbert空间，S：H1→H1和T：H2→H2为2个 映 像，分 别 满 足Fix(S)≠∅和Fix(T)≠∅，A：H1→H2为有界线性算子。寻找一点p∈Fix(S)，满足

用Ω表示式（10）的解集，即

定 义6设H为 实Hilbert空 间，如 果Fix(T)≠∅且存在k＜1，使得

称T：H→H为k-半压缩映像。

注1当k=-1时，称T为定向的或拟firmly-非扩张的；当k=0时，称T为拟非扩张的；当k=1时，称T为拟伪压缩的。因此，k-半压缩映像是一类十分丰富的映像，具有重要的学术价值与广泛的应用前景。

定理2设S：H1→H1为k1-半 压 缩 映 像，T：H2→H2为k2-半 压 缩 映 像，S和T均L-Lipschitz连续。I-S和I-T均在原点次闭。假设{tn}满足条件(C1)和(C2)，定义序列{xn}：

如果Ω≠∅，则由式（12）产生的序列{xn}弱收敛于x*∈Ω，且

证明定义算子B：H1→H1为

则式（12）可转化为

要证明定理2成立，只需证明算子B满足定理1中的全部条件。

首先，证明算子B是Lipschitz连续的拟ν-反向强单调的。

由于S和T均L-Lipschitz连续的，故对任意的x，y∈H1，有

其中，L1=(1+L)（1+‖A‖2）＞1，因此，算子B是L1-Lipschitz连续的。

下面证明Ω=N(B)。

一方面，对任意的p∈Ω，有p=Sp，Ap=TAp，从而

因此

反 之，对 任 意 的p∈N(B)，有Bp=0。因 为Ω≠∅，故取x*∈Ω，由式（11）和引理1，得

从而p∈Ω，即N(B)⊆Ω，因此N(B)=Ω≠∅。

然后，证明算子B是拟ν-反向强单调的。

对于任意p∈N(B)=Ω和x∈H1，由 引理2和式（11），得

因此，算子B：H1→H1是拟ν-反向强单调的。

最后，证明算子B：H1→H1在原点是次闭的。

对 任 意 的{xn}⊂H1，有xn⇀x(n→∞)，Bxn→0(n→∞)。由式（14）知，

由于I-S和I-T在原点是次闭的，故

从而Bx=0。

至此，满足定理1的全部条件。

由定理1知，{xn}弱收敛于x*∈N(B)=Ω，且

证毕！

注2一方面，将步长序列减弱为tn→0(n→∞)；另一方面，将映像推广为k-半压缩映像，其中k＜1，而在文献［11］中，k∈[0，1)。如果取k=-1，便可推得文献［10］的主要结论。