具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的爆破

欧阳柏平

（广州华商学院数据科学学院，广东 广州 511300）

0 引言

近年来，已有很多研究针对局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破问题。一般而言，解的全局存在性和爆破取决于方程的非线性、空间维数、初始数据以及边界条件。文献［1-6］考虑了三维空间中解在齐次边界条件（Dirichlet条件和Neumann条件）和Robin边界下的全局存在性和爆破问题。文献［7-17］研究了高维空间中解在非线性边界条件下的全局存在性和爆破问题。文献［18-25］对具有时变或空变系数的局部和非局部抛物方程和抛物系统解的全局性和爆破进行了研究。文献［26-28］考虑了其他偏微分方程解的爆破问题。从某种程度上，非局部的数学模型比局部的数学模型更具实际应用价值，因而探讨非局部的抛物方程和抛物系统解的全局存在性和爆破有较强的理论价值和实际意义。由于局部数学模型的理论和数学方法不适用于非局部数学模型，因此对于非局部数学模型的研究有较大的挑战。目前，关于爆破发生时解的爆破时间上下界估计的研究，考虑上界的方法较多，而考虑下界的较少。

文献［17］研究了具有时变系数的反应扩散系统爆破问题：

在齐次Dirichlet边界条件下，得到解在有限时间内爆破的条件。同时推出了解的爆破时间上界估计和在二维和三维空间中解的爆破时间下界估计。

文献［19］研究了具有时变系数的局部反应扩散系统爆破问题：

在齐次Dirichlet边界条件下，得到解的爆破条件以及在2种测度下解在高维空间中爆破时间下界估计。

文献［25］研究了具有空变系数的非局部反应扩散系统爆破问题：

其中，a(x)和b(x)是光滑有界正函数。采用微分不等式方法，得到全空间中解的爆破时间下界估计。

文献［17］研究了具有吸收项的半线性抛物问题：

在齐次Neumann边界条件下，采用微分不等式方法和某些假设条件，得到解的全局存在性和爆破时间上界估计以及三维空间中爆破发生时解的爆破时间下界估计。

受以上文献启发，本文研究非线性边界条件下具有时变系数和吸收项的非线性非局部反应扩散系统解的全局存在性和爆破问题：

其中，Ω是高维空间Rn(n≥3)中的有界凸区域，Δ表示拉普拉斯算子。∂Ω是区域Ω的边界，t*表示可能的爆破时间。分别是u、v在边界∂Ω上的外法向量的导数，假设其足够光滑。

目前，尚未发现关于式（1）的解的全局存在性和爆破问题的文献研究。其困难在于如何处理高维空间、非局部项、吸收项以及非线性边界条件对解的全局存在性和爆破影响。采用高维空间中的Sobolev嵌入不等式以及相关的微分不等式方法，得到高维空间中非线性边界条件下解的全局存在性和爆破发生时解的爆破时间的下界估计。

1 全局存在性

引理1［16］设Ω是Rn(n≥3)上的有界凸区域，则对于u∈C1(Ω)，s＞0，有

其中，

引理2［29］Sobolev不等式：

其中，C=C(n，Ω)是 与n和Ω有 关的Sobolev嵌入常数。

定理1假设

则在任何有限时间式（1）的解均有界，即式（1）是全局存在的。

证明首先，定义辅助函数：

其中，σ＞1。

运用散度定理，对式（6）求导数，结合式（5），得

其中，l=min{l1，l2}。

对于式（7）右边第2项，由散度定理和式（2），有

对于式（8）右边第2项，由Hölder不等式和Young不等式，得

其中，ε1为正数。于是，由式（8）和式（9），得到

对于式（7）右边第5项，重复式（8）～式（10）的推导，可得

对于式（7）右边第3项，由Hölder不等式和Young不等式，有

同样，对于式（7）右边第6项，由Hölder不等式和Young不等式，有

选取合适的ε1，ε2，使得r3≤0，λ3≤0，于是，式（14）可化为

由Hölder不等式和Young不等式，得

其中，ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε为正数。联立式（15）～式（23），有

其中，

由Hölder不等式，可知

联立式（24）～式（26），得

选 取 合 适 的ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε，使 得σ-r5＞0，σ-λ5＞0。

设K1=min{σ-r5，σ-λ5}，

由式（27），可得

其中，C为正常数。

式（28）表明，u在φ(t)测度下对于任意的t(t＞0)都不会爆破。事实上，如果在某个时间t*爆破，即

由式（28），对任意的t∈[t0，t*)，有φ′(t)≤0，从而φ(t)≤φ(t0)。当t→(t*)-时，取极限，有

矛盾。定理1得证。

2 解的爆破时间的下界

假设

构造辅助函数：

定理2假设u(x，t)，v(x，t)是式（1）、式（29）在有界凸区域Ω的经典非负解，则式（30）中定义的能量满足：

因此，爆破时间t*的下界为

Θ-1是Θ的反函数。

证明运用散度定理，对式（30）求导数，由式（29），得

其中，a=max{a1，a2}。于是，由式（8）和式（9），得

同理，可得

对于式（31）右边第3项，由Hölder不等式和Young不等式，有

同样，对于式（31）右边第6项，由Hölder不等式和Young不等式，有

由Hölder不等式，可得

由式（16）、式（20）、式（36）～（38），可得

由Hölder不等式和式（3），有

类似于式（41）的推导，由Hölder不等式、式（3）～式（4），可得

其中，

ε10，ε11，ε12为常数。联立式（40）～式（44），得

其中，

选取合适的ε1，ε2，ε9，ε10，ε11，ε12，使得K3≤0，K4≤0。于是，式（45）可化为

其中，K(t)=1+K5(t)+K6(t)。对式（46）从0到t*积分，有

因为ξi＞1(i=1，2)，所以式（47）右边积分存在。易知，Θ(t*)是单调递增函数，于是有

其中，Θ-1是Θ的反函数。

定理2得证。