圆弧形沉积谷地在平面SV波入射下地震响应的有限元分析

2022-02-19蔡曼琳丁海平于彦彦

世界地震工程 2022年1期

蔡曼琳，丁海平，2，于彦彦

（1.苏州科技大学江苏省结构工程重点实验室，江苏苏州 215011；2.中国地震局工程力学研究所，哈尔滨150080）

引言

地形对地震动的影响研究主要有两种方法：一种是利用场地观测台站的地震记录；另一种是理论分析方法，常用的有解析法和数值法。解析法主要指的是波函数展开法［1－4］，考虑的地形几何形状和介质的材料特性相对比较简单，其结果可以用于检验数值法的计算精度。而数值法的种类较多，文献［5］把数值法归纳为3 类：域方法，包括有限差分法、有限元法和谱单元法［6－11］；边界元方法［12－14］；将几种数值方法相结合的联合方法［15－16］。沉积谷地（盆地）作为最常见的地形之一，是人类生活和工作的主要区域，研究其对地震波的传播影响很重要。对于复杂的地形和地质条件的场地，解析法受到一定的限制。随着计算机的发展和大型有限元软件的出现，有限元数值法已成为一种更方便和更有效的手段。采用有限元方法分析场地效应时，需要用人工边界把半空间问题限制在一个有限的区域内解决。目前的大型有限元软件大多没有设置人工边界，但可以采用基于粘性边界或粘-弹性边界的等效荷载输入方法实现［17－20］，由于在满足这些边界条件时存在参数选择问题，其精度受到一定限制。在众多的人工边界中，多次透射公式（MTF）是一种易于实现且精度较高的局部人工边界条件［21］。本文将利用Ansys 有限元软件结合MTF 的计算工具，分析圆弧形沉积谷地对入射SV 波放大特征。由于场地地表地震动峰值的分布受不同地震波输入的影响，如文献［22］发现：同一个场地模型在不同的地震波入射下，地表的地震动峰值分布呈现显著的差异性；文献［23］也指出：不同地震波作用下，地震动峰值放大系数的影响程度和范围有区别，因此，本文将进行频域结果分析，避免受不同输入地震波的影响［24］。

1 计算方法

如图1所示由人工边界和地表包围的区域结构-地基系统，运动方程为：

图1 结构-地基系统动力反应分析示意图Fig.1 Schematic diagram of dynamic response analysis of structure-foundation system

式中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；P为外力矢量。

在地震波作用下，本文所讨论的波动问题有2 个问题需要解决好：一是边界问题；二是地震波的输入问题，且这2个问题是相关联的。

（1）人工边界

本文的人工边界采用的是多次透射公式（Multi-Transmitting Formula，简记为“MTF”）［21］。设某一入射波以人工波速ca沿x轴从左侧射向人工边界点0（图2），记点j在p时刻的位移表达式为=u(pΔt,jΔx)，j和p为整数，Δt为时间步距，Δx为空间步距，若Δt=Δx/ca，则可直接用与人工边界垂直方向上的内部节点的位移确定：

图2 人工边界附近节点编号，一维波动模型图Fig.2 Node number near artificial boundary，one-dimensional wave model

式中：

由于MTF模拟的是外行波，即散射波us，其表达式为：

式中：us散射波位移；u为全波场位移；ur为参考波场的位移（对底边界，参考波场可直接取输入场，对侧边界，则通常取为自由场。令多次透射公式（2）中u=us，将式（4）代入式（2）中，则：

（2）地震波的输入

假定输入地震波为位移，则输入面为人工边界节点所在位置，人工边界点的全波场位移为：

式中：下标i表示内节点（包括自由表面节点）；b表示边界节点。对于散射问题，方程（7）的右边荷载项为0，方程（7）就变成已知边界点ub的位移求解内节点位移问题。对于波源问题，方程（7）的右边pb为0，方程（7）就变成已知边界点ub的位移和pi求解内节点位移问题。只要选择一种合适的数值积分格式，两种情形都很容易对方程（7）进行求解。

（3）有限元数值模拟的网格尺寸要求

解析方法给出的场地地震响应一般是基于无量纲频率的谱比（或称谱放大系数），其中无量纲频率定义为：

式中：a为沉积谷地地形半宽；λs为土层介质中剪切波波长；cs为土层剪切波速；ω为圆频率。参数η表示沉积谷地宽度与土层介质中剪切波波长之比，η值越大，其入射波波长越小，对应的频率f越高。

进行有限元数值模拟时，网格尺寸一般需要满足在一个有意义的波长内包含有10 个单元网格，如下列关系式：

式中：λ表示为入射波的波长；Cs表示为沉积介质中的剪切波速；T表示为入射波的周期；fcut表示为入射波的截止频率，本文取40 Hz。根据式（9），确定网格尺寸Δx=0.5 m；根据稳定性条件，时间步距dt=0.000 25 s。

2 方法验证

算例1：均匀半空间沉积谷地

采用文献［13，26］相同的沉积谷地模型和介质参数作为算例（图3），以垂直入射脉冲波的计算结果验证本文的有限元方法。计算参数为无量纲频率η=2a/λs，泊松比μ=1/3，沉积谷地与半空间的剪切波速之比为200/400，压缩波速之比为400/800，介质密度之比1.4/1.8，半圆形沉积谷地半径取a=25 m。

图3 方法验证模型图-均匀半空间沉积谷地Fig.3 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a uniform half-space

在上述模型的地表取41个观测点，编号分别为0～40，图4 为41 个点水平方向和竖直方向的时程图。首先将场地各点的位移进行傅里叶变换，得到频域响应的傅里叶谱，再计算与入射脉冲波的傅里叶谱的比值。文献［13］和文献［26］给出了入射角θ=0°，无量纲频率η=1的解析解。图5为本文计算结果与文献［13］和文献［26］进行比对，从图中的对比结果可以发现：采用本文方法得到的数值模拟结果与解析解吻合，由此验证了本文方法的正确性。

图4 均匀半空间沉积谷地地表时程图Fig.4 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a uniform half-space

图5 本文计算结果与文献［13］和文献［26］结果的比较Fig.5 Comparison of results from this paper and Reference［13］，［26］

算例2：层状半空间沉积谷地

采用文献［27］的层状半空间中半圆沉积地形模型和介质参数（图6），同样以垂直入射脉冲波的计算结果为例验证本文方法。沉积谷地与土层的剪切波速之比为200/400，土层与基岩的剪切波速之比为400/800；沉积谷地与土层的压缩波速之比为400/800，土层与基岩的压缩波速之比为800/1 600。沉积谷地与土层的介质密度之比1.6/2.4，土层与基岩的介质密度之比2.4/3.2，泊松比均为μ=1/3，半圆形沉积谷地半径取a=25 m。

图6 方法验证模型图-层状半空间沉积谷地Fig.6 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a layered half-space

在上述模型的地表取41个观测点，编号分别为0～40，图7为41个点水平方向和竖直方向的时程图。与算例1 的方法相似，首先将场地地表各点的位移进行傅里叶变换，得到频域响应的傅里叶谱，再计算与入射脉冲波的傅里叶谱的比值。文献［27］给出了入射角θ=0°，无量纲频率η=0.5 的解析解。图8 为本文计算结果与文献［27］的比对，从对比结果可以发现：采用本文方法得到的模拟结果与FRANCISCO 等［27］给出的解析解吻合，由此验证了本文方法的正确性。

图7 层状半空间沉积谷地地表时程图Fig.7 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a layered half-space

图8 本文计算结果与文献［27］结果的比较Fig.8 Comparison of results from this paper and Reference［27］

3 输入波形和计算模型

假定入射SV 波为脉冲波（图9），输入波的截止频率大约为fcut=40Hz。有限元计算模型为半空间上有一简单圆弧形沉积，长300 m，高100 m，如图10所示。沉积介质的密度为1 600kgm3，土层介质的密度为1 800kgm3，层状半空间中基岩介质的密度为2 200kgm3，泊松比均为1/3。

图9 输入脉冲波时程及相应傅里叶谱Fig.9 Time history and Fourier spectrum of Pulse wave

图10 沉积谷地计算模型示意图Fig.10 Calculation model of alluvial valley

本文假定了4个计算模型，模型参数见表1。模型1和模型2为均匀半空间沉积谷地模型；模型3和模型4为层状半空间沉积谷地模型，其中土层厚度为75 m，基岩厚度为25 m。

表1 模型参数Table 1 Model parameters

根据计算模型中沉积谷地半宽与土介质特性，由式（8）可得无量纲频率与实际频率对应关系见表2。

表2 无量纲频率对应的实际频率（Hz）Table 2 Actual frequency（Hz）corresponding to the dimensionless frequency

4 算例与分析

采用本文提出的有限元模拟方法研究沉积河谷地形对平面SV 波的宽频散射，给出了不同入射角度和河谷深宽比等参数下的单频结果。SV波入射角度分别为θ=0°、15°、25°，无量纲频率分别为η=0.25、0.5、1、2、4、6。

4.1 均匀半空间沉积谷地

图11 给出了不同角度SV 波入射下均匀半空间半圆形沉积河谷（模型1，h/a=1.0）地表位移谱放大系数β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉积河谷上方水平方向的放大系数β基本大于2.0，在x/a=0 及其附近处最大；除了频率η=0.25，放大系数β=2.71，其它频率的放大系数β在4.0～6.0 之间；在＞1 范围内，放大系数β大于2 的情况不多。随着入射角度增大，如分别为θ=15°、25°，放大系数β略有增大；且随着频率的增大，放大系数β的最大值向入射波的异侧偏移，但偏移的幅度不大。

图11 SV波入射下均匀半空间半圆形沉积河谷地表位移谱放大曲线（模型1）Fig.11 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 1）

竖直方向放大系数的特点与水平方向相似，但β要小于对应的水平方向，特别是当频率较小时，如η=0.25，各种情形下整个地表范围的放大系数β均小于2；另外，在x/a=0及其附近处放大系数β最小。

图12 给出了不同角度SV 波入射下均匀半空间浅圆弧形沉积河谷（模型2，h/a=0.4）地表位移谱放大系数β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉积河谷上方水平方向在η=0.25 时的放大系数β接近于2，没有反映出地形的影响，随着频率的增大，沉积河谷的影响逐渐明显，放大系数β也有增大，但也少有大于6.0；在＞1 范围内，所有频率的放大系数β大于2 的情况也不多。随着入射角度增大，如分别为θ=15°、25°，频率较小时的放大系数β略有增大，频率增大时不明显；且随着频率的增大，放大系数β的最大值向入射波的异侧偏移，但偏移的幅度不大。竖直方向的放大系数的特点与水平方向相似，但放大值要小于水平方向。在＜1 范围内，相对于半圆形沉积河谷，浅圆弧形沉积河谷在频率较小阶段的放大系数较小。

图12 SV波入射下均匀半空间浅圆形沉积河谷地表位移谱放大曲线（模型2）Fig.12 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 2）

4.2 层状半空间沉积谷地

图13给出了不同角度SV波入射下层状半空间中半圆形沉积河谷（模型3，h/a=1.0）地表位移谱放大系数β。η=2.0时的放大系数β相对最大。随着入射角度增大，放大系数β的变化明显，较均匀半空间中半圆形沉积河谷的大；且随着频率的增大，放大系数β的最大值向入射波的异侧偏移，但偏移的幅度不大。竖直方向放大系数的特点与水平方向相似，但β值要小于对应的水平方向。

图13 SV波入射下半空间半圆形沉积河谷地表位移谱放大曲线（模型3），其中虚线为对应的半空间地表位移谱放大曲线Fig.13 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 3），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve corresponding half-space ground

图14给出了不同角度SV波入射下层状半空间中浅圆弧形沉积河谷（模型4，h/a=0.4）地表位移谱放大系数β。在＜1范围内，相对于层状半空间中半圆形沉积河谷，层状半空间中浅圆弧形沉积河谷在较小频率阶段的放大系数较小，频率较大时的放大系数相差不大。

图14 SV波入射下层状半空间浅圆形沉积河谷地表位移谱放大曲线（模型4），其中虚线为对应的层状半空间地表位移谱放大曲线Fig.14 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 4），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve correspondinglayered half-space ground

图13-14 中同时给出了与模型3 和模型4 对应的半空间和层状半空间地表位移谱放大曲线（见图中虚线）。对于半空间和层状半空间模型，其地表位移谱放大结果对应相同的频率在图中表示为直线。与半空间和层状半空间圆弧形沉积河谷地表位移谱放大曲线相比，半空间和层状半空间的场地放大效应明显偏小；但有极少数情形，半空间和层状半空间的场地放大效应反而较大，这与盆地内的介质特性有关。