解析几何中易错问题的成因及教学启示

2022-02-16福建省德化第一中学362500郑进品吴志鹏

中学数学研究(广东) 2022年24期

关键词：错因双曲线直角三角形

福建省德化第一中学(362500) 郑进品吴志鹏

在圆锥曲线的学习中,由于在学习过程中对概念理解不足、似是而非,导致对问题的考虑不全面,或是受到思维定式的影响而出现解题偏差等,下面对圆锥曲线这个章节中常见易错问题进行归类剖析.

1 范围考虑不周产生的解题误差

例1已知ΔABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为____.

错解(x-10)2+y2=36.

错因忽略A,B,C是三角形的三个顶点而未对方程的变量范围加以限制.

例2已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,设圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.

错解=1.

错因忽略动圆P的圆心在(-2,0)时,此时动圆为一个点而不是圆这种特殊情况.

正解由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R,因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4＞|MN|=2,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),∴C的方程为=1(2).

例3在ΔABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,c,b依次构成等差数列,且a ＞c ＞b,|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.

错解=1.

错因忽略三角形边a ＞b,点C必须在圆锥曲线位于y轴的左侧.

正解如上图,以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系.∵a,c,b依次构成等差数列,∴2c=a+b(到两定点的距离之和等于定长——椭圆),即|CA|+|CB|=2|AB|=4＞|AB|=2,又|CB| ＞|CA|,∴C的轨迹为椭圆在y轴的左半部分.在此椭圆中,a′=2,c′=1,b′=故C的轨迹方程为=1(x ＜02).

教学启示对于寻求动点的轨迹方程问题,要注意动点运动过程中是否具有完备性,即动点是否运动到某些位置而不能满足题意,教学时可以结合辅助工具对动点的轨迹进行演示,不断地提醒学生求解此类问题时要注意方程中变量的取值范围,从而提升学生学习思维的严谨性.

2 未能正确作图产生的解题误差

例4设F1,F2是椭圆C:=1 的两个焦点,点M在C上,若ΔMF1F2是直角三角形,则这样的直角三角形有几个?

错解这样的直角三角形共有8 个.

错因对于这样的一个问题,很多学生会通过作图很容易就可以找到以F1,F2为直角顶点的四个直角三角形,再加上以M为直角顶点三角形也有四个,则这样的直角三角形共有8 个.

正解以C上的点M为直角顶点的三角形是不存在的,因为当点M对F1,F2的张角最大时,点M恰好位于椭圆的上、下顶点,通过计算点M关于F1,F2的张角∠F1MF2小于90°,因此在椭圆上并不存在以M为直角顶点的直角三角形,所以满足题意的直角三角形只有4 个.

教学启示解决几何问题时利用数形结合进行解题具有很强的直观性,能够很好地启迪思路,因此图形的准确性会对解题产生重要的影响,如本题很多学生由于作图随意、思维定式,而误认为以M为直角顶点的三角形也是存在的,所以我们在利用数形结合进行解题时一定要将图形画准确了,还要利用所学知识加以判断、甄别,以避免产生不必要的错误.

3 遗漏特殊图形产生的解题失误

例5已知过点(0,3)的直线与双曲线-y2=1 有唯一公共点,则这样的直线有( )

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

错解由题意知,所求直线的斜率必存在,设直线的方程为y=kx+3,联立直线和双曲线方程,消去y整理得(1-2k2)x2-12kx-20=0.因为直线与双曲线有唯一公共点,所以有Δ=(-12k)2-4(1-2k2)(-20)=-16k2+80=0,解得k=,所以所求直线共有2 条,故选B.

错因忽略了直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也只有一个交点这种特殊情况,此情形也就是将含参直线方程代入双曲线方程所得方程二次项系数为0 的情况.

例6过点(0,1)且与抛物线y2=2px(p ＞0)只有一个公共点的直线有( )条

A.0 B.1 C.2 D.3

错解C.

错因忽略了过抛物线外点(0,1)且与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.

正解由于点(0,1)在抛物线y2=2px(p ＞0)外,过点可作抛物线的两条切线,而且过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点,所以所求直线共有3 条,故选D.

教学启示研究直线与圆锥曲线的位置关系,特别是只有一个交点的问题时,特别要注意一些特殊情况,避免由于疏忽而产生遗漏,教学时可以先对一些特殊的情况进行说明再对一般情形进行解释,“先入为主”强化学生思维.

4 定义理解不清产生的解题失误

例7如图,已知F1,F2是双曲线=1 的左、右焦点,若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16,求点P到另一个焦点的距离.

错解10.

错因忽略了双曲线图形是有两支的,曲线上的动点到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数,学习定义时对定义中为什么距离之差要添加绝对值理解不足而导致遗漏.

正解由题意知,a=3,b=4,c=5,设点P到另一个焦点的距离为m,则由双曲线定义可知,|m-16|=2a=6,解得m=10 或m=22,即点P到另一个焦点的距离为10或22.

教学启示圆锥曲线的定义是圆锥曲线这个章节内容学习的核心,教学时要让学生充分理解定义,要注意定义中文字语言与符号语言的表述,理解定义时要全面,不能“囫囵吞枣”而要“咬文嚼字”.

5 运算路径选择不当产生的计算困难

例8已知直线y=kx+2 与椭圆=1 总有公共点,求实数m的取值范围.

错因部分学生存在思维定式,认为可利用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,通过联立直线方程与椭圆方程,消去一个变量,根据Δ ≥0 求解结论,利用这种方法求解增加了计算的难度,造成求解困难或结论错误.

教学启示对于直线与圆锥曲线位置关系问题,常见的方法是联立直线方程与圆锥曲线方程,把直线方程代入圆锥曲线方程进而获得关于x或y的一元二次方程,再利用根与系数的关系进行解题,其运算量一般都比较大,所以我们在选择解题方法有可能应尽量避开,如直线与圆的位置关系我们可尽量选择几何法进行求解,教学时我们可以进行一题多解,比对各种不同的解法让学生对解题的运算路径进行选择,培养学生的运算素养.