q阶三角犹豫模糊BM算子及其多属性决策应用
2022-02-16任耀军袁修久
任耀军, 袁修久, 黄 林
(空军工程大学基础部, 陕西 西安 710051)
0 引 言
为解决事物存在亦此亦彼的问题,Zadeh提出了模糊集理论,通过元素隶属于集合的隶属度来描述实际生活中的不确定现象。Atanassov提出了直觉模糊集,使得元素隶属于集合可以从隶属度和非隶属度两个维度来描述。然而,直觉模糊集要求隶属度和非隶属度之和小于等于1,这使得其适用范围受到限制。为此,Yager提出了毕达哥拉斯模糊集,其能适用于隶属度与非隶属度之和大于1,而平方和小于等于1的情况,比直觉模糊集的适用范围更宽泛。此外,Yager又进一步提出了广义正交模糊集的概念,其能描述隶属度与非隶属度(≥1)次方和小于等于1的情况,可以描述更为广泛地模糊现象。广义正交模糊集也被称为q阶模糊集。直觉模糊集、毕达哥拉斯模糊集、q阶模糊集都是通过隶属度和非隶属度两个维度来描述不确定现象。这种既包括隶属度信息又包括非隶属度信息的模糊集称为正交模糊集。考虑到在实际问题决策过程中决策者常常存在犹豫性,Torra和Narukawa在模糊集的基础上提出了犹豫模糊集,使得元素隶属于集合可以有多个隶属度。随后,学者们将犹豫模糊集和正交模糊集相结合,相继提出了直觉犹豫模糊集、毕达哥拉斯犹豫模糊集、q阶犹豫模糊集。
为解决模糊信息的多属性决策问题,学者们一直致力于信息集成算子的研究。常用的算术平均算子、几何平均算子、广义算术平均算子等算子只是简单的将信息集成,并没有考虑数据之间存在的相关关系。然而,Bonferroni平均算子在信息集成过程中能够反映评价信息之间的关联关系。Yager首先将Bonferroni平均算子推广为模糊信息集成算子并应用于多属性决策中,其能够很好地反映评价信息之间的相互影响。随后,Bonferroni平均算子被广泛应用于各种模糊信息的集成,如直觉模糊集、直觉模糊语言集、毕达哥拉斯模糊集、犹豫模糊集、犹豫模糊语言集、对偶犹豫模糊集等。但BM算子只能反映任意两个评价信息之间的关系,而这在实际的多属性决策问题中是远远不够的。为此,Beloakov等提出了广义Bonferroni平均算子,其能刻画评价信息之间更多的关联关系。考虑到不同属性的重要程度不同,Xia等在广义Bonferroni平均算子的基础上提出了广义加权Bonferroni平均算子和广义加权Bonferroni几何平均算子,并应用于直觉模糊环境下的多属性决策问题。
当决策者对候选方案进行评价时,很难用一个确定的值来表示其评价信息。为了更好地描述信息的模糊性,一些学者用区间模糊数、三角模糊数对犹豫模糊集理论进行了扩展,提出了区间犹豫模糊集、三角犹豫模糊集等。而在实际应用中,若使用区间值表示评价信息,则会因区间过大包含过多的无效信息,或因区间过小丢失部分信息,导致信息不完整。相比较于区间模糊数,三角模糊数为中间值隶属度大,边界值隶属度小的隶属关系,这使得其边界取值对信息的定量描述影响较小。此外,三角模糊数比区间模糊数更贴近于人的认知思维。考虑到三角模糊数所具有的优势,本文结合三角模糊数和q阶犹豫模糊集提出了q阶三角犹豫模糊集,并将Bonferroni平均算子和广义Bonferroni平均算子推广至q阶三角犹豫模糊集,提出了q阶三角犹豫模糊Bonferroni平均(q-rung hesitant triangular fuzzy Bonferroni mean，q-HTFBM)算子及其加权形式，q阶三角犹豫模糊Bonferroni几何平均(q-rung hesitant triangular fuzzy Bonferroni Geometric mean，q-HTFBGM)算子及其加权形式，q阶三角犹豫模糊广义加权Bonferroni平均(q-rung hesitant triangular fuzzy generalized weighted Bonferroni mean，q-HTFGWBM)算子和q阶三角犹豫模糊广义加权Bonferroni几何平均(q-rung hesitant triangular fuzzy generalized weighted Bonferroni geometric mean，q-HTFGWBGM)算子，用于解决q阶三角犹豫模糊环境下评价信息之间存在关联关系的多属性决策问题。
1 预备知识
1.1 三角模糊数
(1)
其图像如图1所示。
图1 三角模糊数的隶属度函数Fig.1 Membership function of triangular fuzzy number
设三角模糊数=(,,)和=(,,),则可能度定义为
(2)
式中：为决策风险规避程度。越大,则决策者的风险规避程度越大;越小,则决策者的风险规避程度越小。基于可能度的定义可以对两个三角模糊数进行比较。
1.2 q阶三角犹豫模糊集
基于定义14,给出q阶三角犹豫模糊算术加权平均(q-rung hesitant triangular fuzzy weighted averaging,q-HTFWA)算子、q阶三角犹豫模糊几何加权平均(q-rung hesitant triangular fuzzy weighted geometric,q-HTFWG)算子。
(1) q-HTFWA
(3)
(2) q-HTFWG
(4)
设,,为3个q-HTFE,则其满足如下运算律:
(1)⊕=⊕;
(2)⊗=⊗;
(3) (⊕)⊕=⊕(⊕);
(4) (⊗)⊗=⊗(⊗);
(6)(⊕)=⊕。
设为一个q-HTFE,则称()为的得分函数：
(5)
式中：||和||分别表示其所含元素的个数。得分函数计算得到的结果为三角模糊数。
1.3 相关算子
设,≥0,且(=1,2,…,)为一组非负实数,则Bonferroni平均算子定义为
(6)
设,≥0,且(=1,2,…,)为一组非负实数,则Bonferroni几何平均算子定义为
(7)
(8)
GWBGM,,(,,…,)=
(9)
2 q阶三角犹豫模糊信息集成算子
为了解决q阶三角犹豫模糊环境下评价信息之间存在关联关系的多属性决策问题,本节提出了q阶三角犹豫模糊Bonferroni平均算子和q阶三角犹豫模糊Bonferroni几何平均算子及其加权形式。
2.1 q-HTFBM算子及其加权形式
211 q-HTFBM算子
设,≥0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE,则q-HTFBM算子定义为
(10)
设,≥0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE,则用q-HTFBM算子集成的结果仍是q-HTFE,且
(11)
其中,
根据定义14中q-HTFE的运算法则式(4),可得
进而,依据运算法则式(2),可得
利用数学归纳法可证得
其中,
再由运算法则式(3)和式(4),可得
其中,
证毕
q-HTFBM算子具有如下性质:
(幂等性) 设,>0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE。如果对于∀∈{1,2,…,}有=,则有
q-HTFBM,(,,…,)=
(12)
(有界性) 设,>0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE。令=min,=max,则有
≤q-HTFBM,(,,…,)≤
(13)
(14)
(15)
212 q-HTFBM算子的加权形式
(16)
(17)
其中,
定理23与定理21的证明过程类似,这里不再赘述。
2.2 q-HTFBGM算子及其加权形式
221 q-HTFBGM算子
设,>0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE,则q-HTFBGM算子定义为
(18)
设,>0,(=1,2,…,)是一组q-HTFE,则用q-HTFBGM算子集成的结果仍是q-HTFE,且
(19)
其中,
定理24与定理21的证明过程类似,这里不再赘述。
q-HTFBGM算子同样具有幂等性、有界性、单调性、置换不变性等性质,这里也不再赘述。
222 q-HTFBGM算子的加权形式
(20)
(21)
其中,
定理25与定理21的证明过程类似,这里不再赘述。
在实际的多属性决策问题中,通常是多个评价信息之间存在相互关联的关系,而Bonferroni平均算子只能反映任意两个评价信息之间的关联关系。为了刻画多个属性之间的关联关系,同时考虑到不同属性的重要程度不同,本节提出了q阶三角犹豫模糊广义加权Bonferroni平均算子和q阶三角犹豫模糊广义加权Bonferroni几何平均算子。
2.3 q-HTFGWBM算子
(22)
(23)
其中,
根据定义14 q-HTFE的运算法则式(4),可得
进而,依据运算法则式(2),可得
其中,
再由运算法则式(3),可得
其中,
利用数学归纳法可证得
其中,
证毕
2.4 q-HTFGWBGM算子
(24)
(25)
其中,
定理27与定理26的证明过程类似,这里不再赘述。
3 基于q-HTFWBM算子的多属性决策方法
将得到的q阶三角犹豫模糊评价信息进行规范化处理,得到标准化q阶三角犹豫模糊决策矩阵=()×。其中,
利用q-HTFWBM算子聚合方案在不同属性下的q阶三角犹豫模糊评价值,得到q阶三角犹豫模糊综合评价值:
=q-HTFWBM,(1,2,…,)
计算各方案的q阶三角犹豫模糊综合评价值的得分函数()。
(1) 若>,则称大于,记作f;
(2) 若=,则称等于,记作=。
根据候选方案总体优势度的大小对候选方案进行排序,选择相应的最优方案。
4 算例分析
表1 q阶三角犹豫模糊决策矩阵
续表1
由于对计算机系统性能评估所考虑的属性指标均是效益型属性,所以原始矩阵不需要进行标准化处理。
利用q-HTFWBM算子对各个计算机网络系统性能评估信息进行集结,取=1,=1,得到其综合评估值(=1,2,3,4,5),如表2所示。
表2 q阶三角犹豫模糊综合评估值(q-HTFWBM)
计算各计算机网络系统性能的综合评估值的得分函数()(=1,2,3,4,5)如表3所示。
表3 得分函数
假设决策者为风险规避型,令参数=04,构造计算机网络系统性能综合评估值基于q-HTFWBM算子的得分函数()进行比较的可能度矩阵:
计算总体优势度可得,=2284 8,=3642 0,=1695 6,=2740 4,=2137 3。
依据计算机网络系统性能的总体优势度对其进行排序,可得ffff,即系统性能最为优异的为。
5 结果分析
通过利用不同的信息集成算子且选取不同参数得到计算机系统性能的排序结果,如表4所示。分析可知。
表4 排序结果
(1) 利用q-HTFWBM算子和q-HTFGWBM算子得到的性能最优的计算机系统均为,且系统性能排序结果基本相同,说明所得结果是可靠有效的。
(2) 当q-HTFWBM算子的参数选取为=2,=2时,排序结果变为ffff,这与q-HTFGWBM算子得到的排序结果相同,而当q-HTFGWBM算子的参数变化时,其得到的排序结果都是ffff。这说明考虑更多数量的关联关系,得到的结果更稳定。
(3) 当利用q-HTFWA算子进行信息集结时,得到的性能最优的计算机系统为,并且系统性能排序结果存在较大的差异,说明利用q-HTFWA算子进行信息集结时忽略了一部分信息,即评价信息之间的关联关系。
同时,为了检验算子的稳定性与可靠性,令q-HTFWBM算子的参数和从1变化到10,得到排序结果。由排序结果可知,随着参数的取值逐渐增大,排序结果便不再稳定。通过数据分析可知,当参数增大后,信息集成过程中数据逐渐趋于零,这使得计算误差增大,结果也不再可靠。
综上所述,可知当利用q-HTFWBM算子和q-HTFGWBM算子进行信息集成时,其考虑到了评价信息之间存在的关联关系,这使得决策更为科学合理。
6 结束语
Bonferroni平均算子能够刻画数据之间存在的关联关系,近年来引起了国内外学者的广泛关注,针对Bonferroni平均算子的研究具有重要的理论研究意义。本文提出了q阶三角犹豫模糊集,并使之与Bonferroni 平均算子相结合,提出了q-HTFBM算子和q-HTFGBM算子及其加权形式。进而,基于q-HTFWBM算子给出了多属性决策方法的具体步骤,并通过算例证明了q-HTFWBM算子的稳定性与可靠性。但当参数选择较大时,通过q-HTFWBM算子得到的计算结果就会趋于零,结果便不再可靠。为此,下一步将尝试添加调节参数来提高算子的可靠性。
