利用乘法原理计算等可能事件发生的概率

董梅

教材给出了计算等可能事件概率的两个基本方法：一是画树状图法，二是列表法，这两种方法的共同特点是比较形象、直观地列举出了某一事件所有等可能结果，然后再从中确定所要出现事件的个数，最后根据概率的定义计算出该事件的概率。虽然这两种确定事件概率的方法在解决一些简单问题时立竿见影、效果明显，但这两种方法的局限性是：列表法只能表示两步事件发生的所有等可能性结果，树状图可以表示两步及两步以上事件发生的所有等可能性结果，但是当步数增多时所列的树状图会比较乱。遇到此类情况，我们可以尝试利用乘法原理解决。

所谓乘法原理，就是如果完成一件事需要多個步骤，其中做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有m1×m2×…×mn种不同的方法。需要注意的是：（1）这件事要分几个独立步骤来完成;（2）每个步骤各有若干种不同的方法来完成。根据这个原理，我们在求多步试验事件发生的概率时，可以求出第一步事件发生的概率为p1，第二步事件发生的概率为p2……第n步事件发生的概率为pn，这样整个事件发生的概率就是p1×p2×…×pn。

例1 （2021·陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6。

（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ;

（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀。从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张。请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率。

【解析】在解决第（2）问时，我们可以利用树状图或列表分析完成，通过列表或画树状图发现所有等可能性结果共有12种，其中两次都是3的共有2种，于是得到其概率为[16]。我们也可以利用乘法原理，完成这个事件分两步：第一步抽一张3，第二步再抽一张3。所以第一步是4张中有2张3，则p1=[12];第二步是在剩下的3张中抽剩下的一张3，则p2=[13]。这样此事件发生的概率为p=p1×p2=[12]×[13]=[16]。

与此类似的还有2021年湖南省怀化市中考第21题第（4）问：在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率。这道题也可以借助乘法原理完成：这是一个在4人中选2人的事件，选第一人时有两个符合条件，选第二人时只有一个符合条件，所以事件的概率p=p1×p2=[12]×[13]=[16]。我们用常规方法也能解决以上两个问题，乘法原理此时并不能体现其优势，但可以借助乘法原理验证其结果的正确性。

例2 （2021·江苏南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别。

（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球。求两次摸出的球都是红球的概率。

（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球;如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球。两次摸出的球都是白球的概率是 。

【解析】第（1）问是一个两步试验，第一次是在3个球中摸出一个红球，概率为[23]，第二次还是在3个球中摸出一个红球，概率为[23]，这样两次都摸到红球的概率就是[23]×[23]=[49]。第（2）问中第一次摸到红球是一个无效事件，这样就变成了两次都摸到的是白球的概率，所以可以表示为[13]×[13]=[19]。这道题容易出错，抓住题中的关键条件很重要。这是一个两步试验，计算的概率也只能是两次摸球的结果，所以问题中的前半句实质是一个无效条件。

例3 （2021·内蒙古通辽）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y。请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率。

【解析】两次转动转盘，其实质是一个两步试验。画树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式可得概率为[49]。我们也可以利用乘法原理来完成，由题意得点（x，y）在第一象限，即表示第一次在甲转盘中转到一个正数，概率为[23]，第二次在乙转盘中也转到一个正数，概率为[23]，这样两次都转到正数的概率为[23]×[23]=[49]。

利用乘法原理求一个事件发生的概率，一定要分清事件发生分几步，每一步有多少种情况。我们在解题的过程中使用乘法原理可以省时省力，还可以验证结果的正确性。当然这个方法在初中数学中不是必须要掌握的，学有余力的同学可以拓展自己的知识视野，发展自己的兴趣爱好。

（作者单位：江苏省南京市六合区雄州初级中学）