厘清概念 抓住本质

艾满满

多年来，“统计与概率”在中考中一直是必考的，但每年考试结束后很多同学感觉有各种问题，主要是因为停留在模仿旧题，对概念本质没有厘清，对一些策略方法反思和归纳不到位。因此，我们将这块知识的主要解题策略和方法做如下梳理。

一、准确把握“普查、抽查”概念

何时选择“普查”？何时选择“抽样调查”？选择“抽样调查”的原则是什么？不少同学比较模糊，我们结合例1来看。

例1 小明所在的班级有52名同学，就“是否喜欢看足球比赛”这一问题，小明调查了班上的24名男生，其中12人喜欢，于是小明得出结论：我们班喜欢观看足球比赛的人数占全班人数的一半。你同意小明的结论吗？试说明理由。若不同意，你认为应该怎样改进抽样的方法。

【解析】对于这样的问题，不少同学根据做题经验，能够判断小明的结论不正确，不同意小明的结论。但要说明如何改进抽样方法，则无从下手。原因在于對抽样调查的方式的原则把握不准。我们做抽样调查时应把握两个原则：一是抽取的数据要随机，有代表性;二是要注意抽取的数据不宜过少，要有一定的普遍性（广泛性）。这里，小明之所以结论有误，是因为小明抽取的数据主要来源于对男生的调查，过于片面，数据不具有代表性。因此，要改进，则需要在保证一定数量（20人左右）的基础上，随机抽取男女生进行调查。

二、重视主要统计量公式的形成过程

例2 甲、乙两名同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下（单位：分）。

（1）分别计算甲、乙成绩的中位数;

（2）如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？

【解析】从本题中的“中位数”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分”这三个关键词句知道，我们应回顾中位数和加权平均数的概念。将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数。衡量各个数据的“重要程度”的数值叫作权，数与代数、空间与图形、统计与概率、综合实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，说明这四项的“重要程度”不一样，它们在总成绩中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2]。因此，甲的成绩=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）。乙的成绩同理计算即可。

例3 已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，求这组数据的极差、方差。

【解析】从本题中的关键词平均数、极差、方差，回顾知识点。本题应先利用平均数求出x，得到一组完整的数据即0，1，2，3，4。想要求极差，找出数据中的最大值是4，最小值是0，所以极差=4-0=4。方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2。

三、正确理解统计表、统计图的数据信息

例4 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：

求这些同学成绩的众数、中位数和平均数。

【解析】题目虽然看起来简单，但是一些同学把15作为“众数”，这个答案是错误的。这里数据的分析对象是“理化生实验操作测试成绩”，而不是“人数”，不能看到“人数”为15，一对比是最多，就把15作为众数，而应该是其人数对应的“9分”为众数。

例5 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的九年级男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的九年级男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：

请你根据图中的信息，写出扇形图中a= %，并补全条形图。

【解析】由于一些同学理解不深，对图表的对应关系分析不到位，在计算出a之后，不是画错条形高度，就是漏画所缺条形。这里需要在计算出a=25%之后，结合扇形统计图的百分比和条形统计图的具体值，先计算出总人数为[2010%]=200（人），再根据总人数和6个对应的百分比求出引体向上拉到6个的人数为50人，进而补全条形统计图。

四、厘清“等可能性”和“不等可能性”

例6 一个不透明的盒子中装有3个大小相同的乒乓球，其中1个是黄球，2个是白球。从该盒子中任意摸出一个球，摸到的球有几种等可能情况？

【解析】一些同学会错误地认为袋子中有两种颜色的球，所以摸出的球就是两种情况，即黄球和白球。本题需要分析的是摸到几种等可能情况。正确的答案应该是摸到3种等可能情况，即黄球，白球1，白球2。

五、掌握“放回”和“不放回”

例7 在4张完全一样的纸条上分别写上1、2、3、4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀。甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支。

（1）甲抽到写着数字“1”的签的概率是 。

（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明。

【解析】本题中强调抽签“不放回”，所以我们可以做如下分析。第（1）问容易求得甲抽到写着数字“1”的签的概率为[14]。第（2）问，甲、乙两人依次从中任意抽出1支签，所有可能出现的结果共有12种，即（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），它们是等可能的。在所有的结果中，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件A）的结果有3种，即（2，1）、（3，1）、（4，1），所以P（A）=[312]=[14]。因此，乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同。

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学初中部）