概率解答题的两种常见类型与解题技巧

王蕊

统计与概率的简单应用是中考数学的必考知识点，大多以解答题为主，分值8分，有时也会出现在选择题或填空题中。下面老师将从一道例题入手，帮助大家破解这类实际问题。

例题 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个。某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （结果精确到0.1）;

（2）试估算口袋中黑球有 个，白球有 个;

（3）在（2）的结论下，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出两个球都是白球的概率。

【分析】（1）在大量重復的试验中，随机事件发生的可能性会呈现出一定的规律性，用频率估计概率是一种重要的方法。因此，随机事件在相同条件下，大量重复试验的结果的频率值会稳定在一个定值附近，这个定值即为概率的估计值。

（2）借助（1）中所得摸到白球的概率，利用公式P（A）=[事件A发生的情况数总情况数]，可以计算出白球数，再用总数-白球=黑球。

（3）用列表法或画树状图法不重复、不遗漏地表示出所有的试验结果，再找出两个球都是白球的试验个数，利用概率公式计算即可。值得注意的是，第（3）问的摸球方式与题干中的方式不同，题干的摸球方式是有放回，而“随机摸出两个球”是一次摸出两个球，属于不放回。

解：（1）从表格可知，最多进行的摸球试验次数为1000次，频率为0.601，结果精确到0.1，因此，频率将会接近0.6。

（2）设口袋中有x个白球。因为摸一次球可以摸到5个球中的一个，所以总情况数为5，又因为摸到白球的情况数为x，所以[x5]=0.6，解得x=3。因为5-3=2，所以黑球有2个，白球有3个。

（3）用列表法表示出所有可能的试验结果如下表。

一共有20种等可能的结果，其中摸出两个白球的结果有6种，所以P（摸出两个白球）=[620]=[310]。

【点评】本题是常见的概率解答题。第（1）问，利用频率估计概率，换个角度看，体现了用样本估计总体的思想。第（2）问，可以看成用样本估计总体的逆用，用总体估计样本，即可以看成总共有1000个白球和黑球均匀分布的球，其中有600个是白球，现在从中取出5个球，求白球的数量，其中“分布均匀”隐藏在题干中“只有颜色不同”“搅匀”“随机摸出”“不断重复”这类词中，说明这些球组成的全体的每一部分都是一样的。

虽然第（3）问要求我们用列表法或画树状图法，但是在方法选择上还有两点需要注意：①如果一次操作的结果超过三个，最好选择列表法，这种方法书写所占空间较少;②试验若有三次及以上操作时，只能选择画树状图，同时考虑节省书写空间，建议选择横向画树状图。

因此，用概率解决实际问题的解答题往往有两种类型：类型一，如例题的（1）（2）两问，用频率估计概率;类型二，如例题的第（3）题利用列表法或画树状图法求事件的概率。

类型一：用样本估计总体，用频率估计概率

例1 动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3。现年25岁的这种动物活到30岁的概率为 。

【分析】解决本题的关键是理解25岁与30岁时这种动物存活率间的联系。题干中明确了活到25岁和30岁的存活概率，此条件相当于总体中活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3。现年25岁指当前存活的概率为1，所以问题可以看成样本中25岁的概率是1时，活到30岁的概率。

解：设现年25岁的这种动物活到30岁的概率为x，由题意得[0.30.5]=[x1]，解得

x=0.6。

例2 生物学家估计某一地区的野鹿只数时，常采用“捉放捉”的方法，即先捕捉野鹿n只，分别给它们做上记号，然后放归;一段时间后，重新捕捉一些野鹿作为样本。像这样有放回地捕捉多次，如果平均每m只野鹿中带有记号的野鹿有a只，试估计该地区野鹿的只数（用含m、n、a的代数式表示）。

【分析】我们可以换个角度理解题干，样本中m只野鹿中带有记号的野鹿有a只，现在标记的有n只野鹿，估计总体的数量。

解：设该地区野鹿的只数为x，由题意得[am]=[nx]，解得x=[mna]。

答：该地区野鹿的只数为[mna]。

类型二、利用列表法或画树状图法求事件的概率

例3 若将例题中的第（3）问改为：在（2）的结论下，随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，将球搅匀，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出两次，且两个球都是白球的概率。

【分析】一次摸球可能出现的结果有5种，仍然采用列表法方便书写，只需将例题解答（3）中的表格中的空白改写为相应结果即可。

解：（列表略）一共有25种等可能的结果，其中摸出两个白球的结果有9种，所以P（摸出两个白球）=[925]。

【点评】两次摸球的试验结果并无关联时，这两次摸球便是相互独立的，也可称为互斥的，那么第一次摸到白球的概率为[35]，第二次摸到白球的概率仍为[35]，两次试验结果同时发生，则[35]×[35]即为所求结果。为何可以这样计算？其实这与类型一有相似之处。将第二次的试验看成样本，即在必然事件的前提下，摸到白球的概率为[35]，现在的前提是，第一次摸球是白球的概率为[35]，求第二次仍摸到白球的概率。不妨设摸到白球的概率为x，由题意得[351]=[x35]，解得x=[35]×[35]=[925]。

这一结论在后续的学习中还有其他方法可以证明，我们不妨把它推广到一般情形。两次试验相互独立，M为第一次试验的结果，N为第二次试验的结果，MN为两次试验结果同时发生，则公式P（MN）=P（M）·P（N）。那么对于三个、四个或是多个的试验相互独立，且试验结果同时发生，你能写出公式吗？我相信，聪明的你一定能写出来。两个相互独立的事件同时发生时，概率的计算公式可以帮助我们简洁、高效地解决填空题或选择题。

（作者单位：江苏省六合高级中学附属初级中学）