构建深度学习课堂，提升数学核心素养<br/>——以“直线与平面垂直”教学为例

构建深度学习课堂，提升数学核心素养
——以“直线与平面垂直”教学为例

2022-02-11广东省惠州市惠阳区第五中学516200

中学数学研究(江西) 2022年2期

广东省惠州市惠阳区第五中学 (516200) 严婷

深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].与机械、被动的浅层学习相比，深度学习更加强调学生的主体性地位，更加注重学生探索、理解、反思、创造的过程，更加注重数学知识的本质、内在联系和思想方法.通过深度学习，可以加深学生对知识的理解，促进知识的迁移与运用,培养自主学习，合作探究能力，激发其内在学习动机.同时，深度学习也是提升数学核心素养的重要途径之一.因此，在高中数学教学中，研究如何构建深度学习课堂，让深度学习真正发生，具有十分重要的意义.

一、核心素养视域下高中数学深度学习课堂的构建策略

在高中数学课堂教学中，深度学习是否发生，主要看是否具备以下几个特征：联想与结构，活动与体验，本质与变式，迁移与应用[1].为落实核心素养，促进深度学习，针对以上特征，提出以下几点构建深度学习课堂的策略.

(一)读懂学生，读透教材，确立促进高级素养发展的学习目标

学生并不是空着脑袋走进教室，而是带着已有经验来的，教师只有真正读懂学生的基础、需要、特点、困惑，才能让课堂教学更加扎实高效.例如，在学习“直线与平面垂直”这一课前，学生已能直观感知线面垂直的关系，也能举出大量线面垂直的生活实例，但由于他们将空间问题转化为平面问题的意识相对薄弱，所以要将这种直观感觉转化为严格定义还有一定困难.此外，虽然学生已有研究线面平行、面面平行判定方法的基础，但要将这种研究经验迁移过来，也存在一定困难.

在深度学习课堂中，学生不仅要学习有逻辑、有结构、有体系的知识，还要领悟其中蕴含的数学思想方法.这就需要教师读透教材的编排体系、编写意图，读懂知识的建构原理，读懂蕴含的思想方法.“直线与平面垂直”是人教A版必修第二册第八章第六节第二小节的内容，是空间中线线垂直的延续，也是面面垂直的基础，起着承上启下的作用.与空间中线线垂直、面面垂直不同，线面垂直不是用空间角来定义，而是用线线垂直来定义的.定义本身既是判定，也是性质，蕴含着线线垂直可与线面垂直相互转化.此外，线面垂直判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，也蕴含着“空间问题平面化”，以简驭繁的数学思想.

因此，基于以上对学生，教材的分析，将本节课的学习目标确定如下：

(1)能从实例中抽象概括出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象素养；

(2)在探究直线与平面垂直的过程中发展合情推理能力，进一步感悟数学中“以简驭繁”的转化思想，提升直观想象、逻辑推理素养；

(3)能在直线与平面垂直的情境中利用定义和判定定理进行证明，培养分析问题，解决问题的能力.

(二)引导学生“亲身”经历知识的发生与建构过程，使学生真正成为课堂的主体

深度学习是触及学生心灵的教学[1].在深度学习课堂中，教师应给学生提供“亲身经历”知识发现、形成、发展过程的机会，让学生成为活动的主体.学生在全身心体验知识复杂内涵的过程中，也将发生丰富的内心体验，在这个过程中，学生不仅能理解知识，还能体会到更深刻的情感及数学思想方法.例如，在“直线与平面垂直”教学中，如果直接告诉学生线面垂直的定义和判定定理，然后通过大量的题目让学生机械地记忆、模仿、证明，那这样学生不明白知识的来龙去脉，时间一长就很容易遗忘，也无法将知识的学习转化为理性成长的精神养分.因此，在深度学习课堂中，教师应引导学生像数学家一样经历从直观感受，一步步归结到线线位置关系，最后得到线面垂直定义的过程；经历直观感知-操作确认-思辨论证探索线面垂直判定定理的过程，让学生在这个过程中体会研究立体几何的一般方法，感受数学的科学性、逻辑性和严谨性.

(三)实施有深度的提问，引导学生深度理解，锻炼学生思维深度

教育心理学认为，学生的思维过程往往从问题开始.所以，在深度学习课堂中，教师的提问应是有深度的，应能抓住问题本质来提问，引导学生探究知识的本源，不仅知道是什么，还能积极探寻为什么.例如，在得出线面垂直判定定理的猜想后，可以提出这样一个问题：根据基本事实3的推论3，经过两条平行直线，也是有且只有一个平面，那为什么不能依据直线与平面内两条平行直线垂直判断线面垂直？引发学生对判定条件本质的思考，促进学生对判定定理的深度理解.

二、核心素养视域下高中数学深度学习课堂的教学实践

(一)创设情境，引入新课

情境1 诗人王维《使至塞上》中“大漠孤烟直，长河落日圆”描述了大漠中雄伟壮阔的景象，那从数学的角度，你看到了什么呢？

情境2 观察图1，旗杆与地面具有怎样的位置关系？你还能举出生活中类似的例子吗？

图1

设计意图：通过具体例子，让学生直观感知直线与平面垂直的几何关系，学会用数学的眼光观察世界，提升数学抽象素养.

(二)自主学习，合作探究

任务一：建构直线与平面垂直的定义

问题1 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化(图2)，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？

图2

追问1：旗杆所在直线AB是否与平面内所有直线都垂直呢(图3)？由此，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？

图3

师生活动：教师借助信息技术呈现旗杆影子的变化情况，学生通过观察易得旗杆所在直线始终与其影子所在直线保持垂直.然后，教师引导学生依据异面直线垂直的定义，分析得到旗杆所在直线与地面上不经过B点的直线也是垂直的，进而得出旗杆所在直线与地面上所有直线都垂直.再结合学生先前接触过的“任意一个数”“任意一个人”引导其理解“所有”与“任意”的关系，最终概括出直线与平面垂直的定义.

追问2：直线与平面垂直的定义中，“任意一条”能改为“无数条”吗？

师生活动：引导学生举出反例，如图4.

图4

设计意图：通过引导学生观察思考，把直观、模糊的感知抽象化，确切化，归纳得出直线与平面垂直的定义，培养学生的抽象概括能力.追问2，通过举反例进行概念辨析，加深学生对定义中“任意一条”的理解.

问题2在得到直线与平面垂直的定义后，为表述方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？(图5，图6)

图5

图6

师生活动：引导学生类比线线垂直的相关概念，给出垂线、垂面、垂足等概念及其图形表示.

设计意图：建立相关概念，知道线面垂直的符号表示，让学生理解数学概念的基本学习思路.

任务二：探究直线与平面垂直的判定定理

问题3 用定义来判断线面垂直方便吗？你有判断线面垂直更简单易行的方法吗？

师生活动：学生易得用定义法需要验证直线与平面内的任意一条直线都垂直，无法操作.教师引导学生类比线面平行判定定理的研究思路，将无限问题转化为有限问题.学生通过反例很快排除直线垂直平面内“一条”直线就判断线面垂直的猜想，进而很容易猜想应垂直平面内“两条”直线.

追问3：直线垂直于平面内两条怎样的直线，才能判定线面垂直呢？

师生活动：学生通过举反例排除垂直两条平行直线，进而猜想直线垂直于平面内两条相交直线可以判断线面垂直.

问题4 如图7，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).

图7

(1)折痕AD与桌面垂直吗？

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直，为什么？

师生活动：教师引导学生动手实践，验证猜想.学生易想到当折痕AD垂直BC时，AD垂直于桌面.教师也可借助GeoGebra软件动态演示BD边在平面内的旋转过程(图8)，再次验证.同时引导学生分析为什么,这是因为依据基本事实推论2，平面α可看作是由BD,DC两条相交直线唯一确定的，所以当直线AD垂直这两条相交直线时，就可保证直线AD与α内所有直线都垂直.