基于拟满内力算法的方钢管混凝土桁架拓扑优化

谢 军 王贺贺 阎 杰* 郭 飞 朱守芹 符 怡

(1.河北建筑工程学院土木工程学院，河北 张家口 075000；2.河北省寒冷地区交通基础设施工程技术创新中心，河北 张家口 075000)

0 引 言

结构拓扑优化通过改变结构的拓扑构形，使结构在满足约束条件的前提下实现最优材料分布，从而达到降低成本、节约材料、提高产品质量的目的[1].拓扑优化包括连续变量结构拓扑优化和离散变量结构拓扑优化.由于设计变量取值是离散的，研究难度较大，近几十年的文献连续结构所占比例较多.不过，随着学者们不断地深入研究，离散变量结构拓扑优化也取得了一定成果.朱朝艳[2]等人将遗传算法和复合形法的优点结合形成一种新的算法应用于离散变量拓扑优化，最终结果比单一算法结果更高效；黄冀卓[3]等人基于遗传算法研究出一种适用于桁架和框架结构离散变量拓扑优化的数学模型，解决了奇异解问题，并验证了优化算法的可行性和方便性；吴贝尼[4]等人将遗传算法同双向渐进结构方法结合起来应用于拓扑优化中，能稳定获得最优拓扑形状并提高计算效率.

遗传算法[5]具有鲁棒性强、通用性好、全局优化性好、应用范围广、易于实现等优点，被大家广泛应用于各个领域，且优化效果已经得到众多使用者认可，但是也存在收敛速度较慢、计算工作量较大等问题.拟满内力算法[6]是准则设计法中的一种新型优化方法，基本原理是使结构各单元中最不利承载力尽可能达到或接近满承载力的状态，进而可以充分利用材料资源.在多工况作用下，使承载力设计值刚好大于最不利荷载效应组合值达到拟满内力状态.该算法计算简便，优化效率高，在一定程度上解决了优化设计阶段中因多离散变量、多约束条件难度大的问题，适用于离散变量结构优化设计[7].钢管混凝土材料因其稳定性良好、承载力高、抗疲劳能力强、施工方便等优点，被广泛应用于工程中[8].若能在保证性能良好的情况下，以更低的造价投入工程中，对提高经济和社会效益有一定的意义.

本文基于拟满内力算法对方钢管混凝土桁架结构进行拓扑优化，在满足尺寸约束和承载力约束条件下，对结构建立拓扑优化数学模型，详述算法步骤，用C++Builder软件编写了拓扑优化设计程序，通过算例验证算法的可行性，实现了拟满内力算法在结构拓扑优化的应用.

1 基于独立拓扑变量的拓扑优化数学模型

1.1 数学模型

本文以方钢管混凝土桁架结构杆件造价最低为优化目标，尺寸和承载力为约束，建立了基于独立拓扑变量的拓扑优化数学模型.具体优化模型如(1)式：

求t、B、H、T、C

(1)

式(1)中：t为拓扑变量，其值代表是否将杆件留下：当拓扑变量取1时，则保留杆单元，取0时，则删除杆单元；B、H、T分别表示杆件的截面宽度、高度、厚度；C表示混凝土等级；W(x)为结构总造价；n表示杆件个数；li为第i根杆件的长度，单位为m；Cc为混凝土造价，单位为元；Cs为钢管造价，单位为元；ρ表示钢管密度，单位为kg/m3；gk(x)表示第k个约束函数值，m表示约束函数个数；Ei为第i杆件的弹性模量.

1.2 约束条件

桁架结构各杆件简化为轴心受力构件，忽略其弯剪影响.因此约束条件依据《矩形钢管混凝土结构技术规程》中轴心受力构件的计算规则来考虑结构的强度、刚度、稳定性等约束.

(1)尺寸约束为

(2)

式(2)中：l0为杆件计算长度，其值根据《矩形钢管混凝土结构技术规程》确定；B为杆件截面宽度；λ为构件长细比限值；H为杆件截面高度；fy为钢材的屈服强度；T为杆件截面厚度；Z为腹杆宽度；Q为弦杆宽度.

(2)承载力约束为

(3)

式(3)中：fc为混凝土的抗压强度设计值；Ac为管内混凝土的截面面积；f为钢材的抗拉、抗压和抗弯强度设计值；As为钢管的截面面积；γ表示系数，无地震作用组合时，取结构重要性系数，有地震作用组合时，取承载力抗震调整系数；N为轴心压(拉)力设计值；φ为轴心受压构件的稳定系数，其值根据《矩形钢管混凝土结构技术规程》确定.

2 方钢管混凝土桁架结构拓扑优化求解过程

2.1 算法实现步骤

基于拟满内力算法进行拓扑优化的流程图如图1所示:

图1 拓扑优化流程图

2.2 启发式方法检查及修正拓扑构形

为避免拓扑构形为机构，采用启发式方法[9]修正和检查所生成的拓扑结构形式，进而可以快速有效的筛选出最合理的拓扑构形.

2.2.1 拓扑构形检查

拓扑构形检查流程图如图2所示：

图2 拓扑构形检查流程图

2.2.2 拓扑构形修正

拓扑构形修正步骤如下所示：

(1)如果该节点为支承点，且连接杆件数≥1，则转(2)，否则随机添加杆件，直到满足条件；

(2)如果节点上有荷载，且连接杆件数≥2，则转(3)，否则随机添加杆件，直至满足条件；

(3)如果该节点的杆件数为2，应当检查这两根杆件是否在该节点处位于一条直线上，如果是在一条直线上，则视为无效增添，需要重新增加杆件；

(4)如果该节点上既无荷载，也非支承点，且与之相连的杆件数为1或2，则删除与之相连的杆件后转(5)；

(5)检查该拓扑构形的总刚度矩阵是否正定，如果是正定矩阵，则该拓扑构形为几何不变体系，可对保留的杆件进行尺寸优化，否则重新生成二进制数后检查拓扑构形.

2.3 拟满内力法对桁架进行尺寸优化设计

(1)给定初始方案

(4)

(2)进行结构分析，求出荷载工况下的杆件内力.

(3)修改截面，判定是否满足尺寸约束条件：

(a)若满足尺寸约束条件，则减小相应截面设计变量序号:

当构件单元满足约束条件时，则减小该杆件截面设计变量离散值序号.若离散值序号已经取到下限值，可约束条件仍满足，则取其下限值，并终止修改，进行结构分析.

(b)若不满足尺寸约束条件，则进行下述迭代过程：

当构件单元不满足约束条件时，则增大该杆件截面设计变量离散值序号，转到式(5).若离散值序号已经取到上限值，可约束条件仍不满足，则取其上限值，不论约束条件是否满足都终止该循环体，进入下一步骤.

(5)

(4)判定是否满足承载力约束条件：

(a)若满足承载力约束条件，则减小该杆件截面离散值序号以及混凝土强度等级的离散值序号：

(6)

若仍满足约束条件，转回式(6)，继续减小设计变量离散值序号.否则转向步骤(4)的(b).

(b)若不满足承载力约束条件，则增加该单元截面离散值序号以及混凝土强度等级离散值序号：

(7)

如果仍然不满足约束条件，则增加单元的截面离散值序号，转回式(7).当设计变量离散值序号取到上限时，则取上限值，无论是否能满足约束条件都终止该循环体，并进行结构分析.

(5)终止迭代条件：

|W(x)(k)-W(x)(k-1)|≤ε且gij≤0

(8)

如果符合上述所有终止迭代条件，则退出循环；否则k=k+1，并转向步骤(2).其中，gij表示第j个单元的第i个约束条件；ε表示预设的一个较小值，本文设为0.0 001.

2.4 适应度函数

适应度函数值能直观地反应出个体的良莠，一般通目标函数来制定.本文旨在寻找如何优化使得杆件造价最低，属于寻求目标函数全局最小值的问题，且其值是正数，因此使用公式(9)计算适应度值：

(9)

其中，F(x)为适应度函数，W(x)为目标函数，gg为约束条件.若某一杆件不满足约束条件中任一要求，就采用罚函数方法降低其适应度，将目标函数与约束函数取和后再平方的倒数作为适应度值，这样不仅能够降低违反约束个体被遗传的概率，还能保证种群的多样性，以产生更优质的子代.

3 算 例

例1，如图3(a)所示15杆桁架，图中长度单位尺寸为mm，单元方钢管牌号均为Q235，钢管的弹性模量E=2.06×105N/mm2，方钢管的造价3 730元/吨，方钢管的密度ρ=7 850 kg/m3；预设交叉概率Pc=0.6；变异概率Pm=0.02；遗传代数g=200；迭代10 轮，种群规模P=180，对其进行拓扑优化，最优结果拓扑构形如图3(b)所示，优化结果见表1.

(a)15杆桁架初始结构 (b)15杆桁架最优结果拓扑构形

图3和表1可以看出，经过循环迭代后得到的最优结果拓扑构形与原来相比删除了3杆和5杆，对保留下的杆件分别采用遗传算法和拟满内力算法进行尺寸优化，明显看出，基于拟满内力算法的拓扑优化结果比遗传算法结果优化了78.11%，初步证明了拟满内力算法应用在方钢管混凝土桁架结构拓扑优化中是可行的.

表1 15杆桁架最优结果拓扑构形尺寸优化

例2，如图4(a)所示一组12杆桁架，共有6个节点，在节点2、3上分别有节点集中力P2y=P3y=-4.45×105N,其余条件同例1.最优结果拓扑构形如图4(b)所示，尺寸优化结果见表2.

(a)12杆桁架初始结构 (b)12杆桁架最优结果拓扑构形

由图4和表2对比分析可以看出，与初始结构相比，除杆单元5、6、7、8、10被删去外，节点6也被删除，拟满内力算法对最优结果拓扑构形进行尺寸优化的结果的是17 750元，而采用遗传算法优化的结果是18 925元，拟满内力算法比遗传算法优化了1 175元，进一步证明了基于拟满内力算法的拓扑优化是有效的.

表2 12杆桁架最优结果拓扑构形尺寸优化

4 结 论

本文在C++Builder软件的基础上编制了方钢管混凝土桁架拓扑优化的计算程序，用两个结构算例进行验证，并对拓扑优化结构进行对比分析，可以得出如下结论：

(1)拓扑优化可以有效的减少杆件材料冗余，着重优化被保留的杆件，从而进一步优化结构.

(2)拟满内力算法较遗传算法相比，造价更低，优化结果更佳，证明了基于拟满内力算法对方钢管混凝土桁架进行拓扑优化设计是有效可行的.