初中函数概念教学的存在问题及教学建议

◎许家健

(阳江市江城区教师发展中心,广东 阳江 529900)

函数是初中数学的一项重要知识，也是学生学习中的一个难点.近两年，我在江城区各中学进行听课调研的过程中，发现有关函数概念的教学存在不少问题，这些问题也在平时的质量监测中表现出来.对此本文结合调研中的一些课堂实录进行分析，以期为一线教师进行函数概念教学提供参考和借鉴.

一、函数概念教学中存在的问题

(一)重结论，轻过程，机械记忆

在调研的过程中我们发现，许多教师的教学形式过于陈旧，平时缺少理论学习，没有及时地更新教学理念，做到与时俱进[1].特别是在长期应试教育影响下，学校对教师所教学的班级有升学率要求的情况之下，很多教师也没有坚持自己最初的教学原则，在面对即将到来的考试的时候，教师就会教学生适用的考试套路，让学生能够在考试的时候通过走捷径来获得高分，并且在平时的教学过程中也改变了自己的教学方案，所有教学设计和活动都围绕考试进行，考试考什么就教什么甚至为了赶进度，部分教师只要学生记住结论以便于考试时套用，导致学生对基本概念机械记忆，甚至造成对概念的模糊理解.

教学实录1：“函数概念”的教学片段

师：同学们，前面我们已经学习了什么是常量和变量，这节课我们开始学习什么是函数.请打开课本第73页找到“函数”的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

生：齐读上述“函数”的定义.

练习：判断下列式子中哪些表示y是x的函数？

初中教材中给出了函数的描述性定义，教师采用上述教学方式，不管学生是否真正理解函数概念的本质，只是简单地让学生背诵函数定义的文字表达，然后直接让学生做练习题，在教学的过程中太过于重视教学的结论而轻视过程，以至于学生对于函数概念的认识与函数概念的真实定义是有出入的.直到初中毕业，学生对函数概念的理解仍是一知半解，往往只记得一次函数、反比例函数等一些函数的表达式，根本不知函数为何物，出现“忘根”的现象.在调研中，我们发现：重结论，轻过程的现象并不是个案，而是普遍存在的.这样的教学方法根本不能适应新课标对数学概念教学的要求，更不利于学生对概念的本质理解.

(二)重函数的解题技巧，轻函数概念的生成

在一次质量监测中，我们让学生解答下面一道题：

图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示[2].

图1

图2

(1)根据图2填表：

X(min)Y(m)

(2)变量y是x的函数吗？为什么？

(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.

本题考查了学生对函数概念的理解，体现了过程性评价理念，但学生的答题情况并不理想.不少学生认为y不是x的函数，理由是该题目的图像不是抛物线.这种现象与教师平时的教学有很大的关系.由于教师平时只重视各类特殊函数题目的解题技巧训练，轻视函数概念的生成，导致学生只是单纯地重点关注各类函数解析式的表示，对函数概念的理解只停留于表面，并不理解函数的本质.

(三)过分强调活动操作，导致情境过度，缺少剥离，出现去数学化的倾向

许多教师在学生学习函数概念的第一节课时，都会举路程随时间的变化问题、圆的面积随半径的变化问题等很多实例让学生体会什么是函数.我在一次听课中有一位教师举了一个销售问题，说明单价确定时，销售收入是售出商品数量的函数，课中教师让学生进行角色扮演，学生兴趣很高，课堂很热闹.闹完之后，教师让学生直接阅读教材函数概念的描述，直到下课学生仍然沉浸在角色扮演的情境中，对函数的概念理解仅停留在教材上.在学习各类特殊函数时，教师也是以一次函数、二次函数、反比例函数等的具体实例及解析式进行教学，很少提及函数的一般定义，因此学生以解析式或某种图像的印象代替了对函数概念的理解.

(四)大多数学生对函数概念的学习难以达到“综合图式”阶段

由于教师在进行函数概念的教学时，常与初中数学的其他知识割裂开来，导致多数学生对函数的学习难以达到“对象”阶段，更难达到“综合图式”阶段.从而在平时的质量监测以及中考中，学生不能把函数知识与其他知识联系起来灵活运用，在用方程解应用题时，学生觉得方程就是方程，函数就是函数，不会利用函数的性质解决求最大值等一些实际问题[3].事实上，函数与方程、不等式等是紧密联系的，函数图像与坐标轴交点正是从“形”的角度阐明了方程“解”的概念，把数与形结合起来.正因为教师在平时教学中没有从整体上处理教材，特别是在复习阶段不会沟通各部分知识之间的联系，所以学生对函数的学习就难以达到“综合图式”阶段.

二、对初中函数概念教学的建议

(一)让学生经历函数概念学习的完整过程

在数学概念教学的相关理论中，有一个很重要的理论是杜宾斯基提出的APOS理论.这个理论指出了学生学习数学概念应经历活动、操作、对象和图式四个阶段，经历这些过程才能促成学生对数学概念的本质理解，而不是简单地为了应付考试，同时这也给数学教师提供了一项进行函数概念教学的理论工具.为了真正理解函数概念的本质，学生对函数概念的学习也应经历这四个阶段，而且这四个阶段是不可颠倒顺序的.在这种概念教学理论的指导下，教师对函数概念教学进行了思考，函数概念教学除了具有一般的数学概念教学特征外，还属于“聚类研究”的概念类型.我们应通过对大量的材料进行分析，找出其中共同的本质特征，对这些本质特征抽象概括就形成概念.其大致过程可表达为如下几个环节：感知材料→聚类分析→归纳概括、抽象命名→练习巩固、纳入系统.本文以江城区2021年中学数学教师技赛程三凤老师的一节《函数概念》中的实录片段为例进行分析.

环节1：感知材料

情境1：播放校运会200决赛的情境和学生成绩表后填下表：

姓名学生1学生2学生3……stv

填表后让学生观察和思考：在上面的例子中，学生的成绩(速度v)与时间(t)之间有怎样的关系？

情境2：出示阳江市昨天的气温变化图，观察气温(T)随时间(t)的变化情况.

情境3：长方形的周长为24 cm，其中一边为xcm(其中x>0),面积为ycm2,面积y与x有怎样的关系？

情境4：一个小球在一个斜坡由静止开始从上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，到达坡底时小球的速度达到 40 m/s,求小球的速度与时间之间的关系.

分析：在教学中，如果教师只举一两个例子，不足以让学生感知函数的本质特征，这一环节通过大量的材料，让学生充分感知，引导学生自主分析研究，感受“函数”的三个要素：“一个变化过程”“两个变量”“确定的依赖关系”，为后面提炼“函数”的概念作铺垫.这里所说的“大量”不仅是指数量，还指所举的例子涉及生活的各个方面，但又能抽象出函数概念的本质特征，必要时还要举一些不能反映函数概念特征的例子作为反衬材料，加深学生对函数概念本质特征的感知.这一环节，与APOS理论中的“活动阶段”相对应，是该理论在初中函数概念教学中的一个应用.

环节2：聚类分析，探究本质

问题1：通过对前面大量情境的分析，你发现这些不同的例子中存在什么共同的特点？

由于这个问题太宽泛，学生回答起来非常困难，于是老师做了如下引导：

引导1：在上面的每个变化过程中，出现了一些量，你能对这些量进行分类吗？(引出常量和变量)

引导2：在上面的每个变化过程中，两个变化的量之间存在怎样的关系？

引导3：是不是一个量随另一个量的变化而随意变化？

分析：教师通过上面的问题引导学生对生活中的不同例子进行聚类分析，找到不同问题中的共同点，提炼本质，也为下一环节做好准备.这一环节，相当于是APOS理论中的“操作阶段”.

环节3：归纳概括、抽象命名

提炼引导1：你可否用一句话把你的发现表达出来？(小组讨论)

提炼引导2：前面的各例中，你会用一个数学式子表达这种确定的关系吗？

教师在总结小组讨论结果时，得出教材中关于函数的描述性定义，同时说明这样的表达式称为函数解析式.

环节4：练习巩固

1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.

(1)改变正方形的边长x，正方形的面积s随之改变.

(2)生活用电每度0.68元，小亮家每个月份的电费y(元)与每个月的用电量x(度)之间的关系.

(3)三角形的一边长是8厘米，它的面积s(平方厘米)与这边上的高h(厘米)之间的关系.

2.下列关于变量x，y的关系中，y是x的函数的有________.

(1)3x-2y=0 (2)5x-y2=1 (3)y=|x| (4)y=±x

分析：这一环节，教师通过练习巩固学生对变量与函数的理解，帮助学生学会用函数关系来分析问题，深刻体会其中的函数思想.但是想通过一节课，让学生对函数概念的理解达到APOS理论所说的“对象”和“综合图式”阶段是不现实的，需要后续的学习逐渐完善.

(二)注意引导学生从整体上把握函数的解析式、图像与性质之间的内在联系，养成“心中有图”的习惯

例如，我们在学习二次函数图像的平移知识时，可设置如下问题：

(1)请在同一坐标系中画出y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x-1)2+3的图像？

(2)观察图像，你发现每两个图像之间可以通过怎样的平移得到另一个图像？

(3)观察列表，图像上每个点与顶点的移动规律是否相同？

(4)推广到一般情况，你可以归纳出y=ax2(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)，y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像之间有怎样的关系吗？

通过前面的抽象，我们认识到了函数概念本质，对于各类具体函数，我们可以结合其解析式和图像，逐步精致化，使函数成为一个思维中的具体的对象.如上述的二次函数图像的上、下、左、右平移问题，解决现实问题中的各类函数模型等的训练，都有助于学生对函数的学习进入对象阶段.

(三)沟通函数与其他知识的联系，把函数数概念纳入数学概念的大系统中

例如在复习阶段，我们可以通过下表沟通代数式、方程、不等式、函数之间的关系：

代数式方程与不等式函数名称与解析式图像性质整式kx+b(k≠0)kx+b=0(k≠0)kx+b>0(k≠0)kx+b<0(k≠0)一次函数y=kx(k≠0)一条直线当k<0时,y随x的增大而减小;当k>0时,y随x的增大而增大;直线与x轴的交点是一元一次方程的根分式kx(k≠0)反比例函数y=kx(k≠0)双曲线同一象限内,当k<0时,y随x的增大而增大;同一象限内,当k>0时,y随x的增大而减小整式ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c>0(a≠0)ax2+bx+c<0(a≠0)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)抛物线当a<0时,图像开口向下;当a>0时,图像开口向上.Δ>0,图像与x轴有两个交点;Δ=0,图像与x轴有一个交点;Δ<0,图像与x轴没有交点

通过这样的沟通，学生脑海中对于函数的理解便不仅仅是一个定义，还包括形成函数概念的过程，各类具体函数的样例，函数与方程、不等式等概念的联系等.教材的编写同样很好地体现了这样一种理念，例如在一次函数的学习中，学完相关概念和性质后，设计一节专门学习一次函数与方程、不等式之间联系的课程，这样的安排正是为了让学生对函数的学习进入到“综合图式”阶段.当然，学生对函数的理解要进入“综合图式”阶段不是一件容易的事，不是一节课能完成的，也不是每一节课的学习都能经历四个阶段，这是一个长期的过程.通过沟通，我们把函数的局部概念纳入整体中来认识，可以使学生经历知识的形成过程，有利于学生形成真实的探究过程，把握概念之间整体的内在联系，防止学生对函数概念的理解仅仅停留在机械记忆层面.

(四)循序渐进渗透函数思想

对于函数概念的学习不是一节课可以完成的，是一个长期的过程，实际上函数概念贯穿于整个初中数学的学习，我们要循序渐进地渗透函数思想.例如，我们在正式学习函数概念之前，七年级学的用字母表示数，正是函数中变量的初步思想.教师在开展七年级代数式的教学时，代数式的值与字母取值的对应关系正也正是函数的思想；在学习分式时，探索分式有意义的条件，不正是探求函数自变量的取值范围吗？还有方程、不等式等都与函数紧密相连.所以，教师在整个初中数学教学过程中，有意识地渗透函数思想，积累相应的活动经验，沟通知识之间联系，对于学生学习函数是一件十分重要的事情.

综上所述，教师对于初中函数概念的教学要克服只重结论，轻过程的问题，不能由教师单纯讲述、学生机械记忆的方式进行教学；不能只为追求课堂的热闹，过分情境化，缺少剥离，出现去数学化的倾向，从而造成课堂热热闹闹，学生却什么也学不到的情况.教师应精心设计数学活动，引导学生经历函数概念完整的形成过程，使学生经过活动、操作等过程理解函数概念的本质，并通过练习巩固对概念的理解；要促进函数概念与其他知识的联系，在整体大系统中把握函数的局部概念；要重视数形结合的数学思想在函数教学中的运用，形成心中有图的学习习惯；教师要充分认识学生学习函数概念的困难性和渐进性在教学中逐步渗透函数概念.