运用线段双中点问题类比双角平分线问题

高倩

几何教学是初中数学教学的重点，也是数学课堂教学的重要组成部分。几何问题中出现最多的就是中点、中线和角平分线，然而初入中学的学生缺乏这些意识，在面对几何问题时，不能第一时间构造辅助线来解决。在学习双角平分线时，学生们常常一知半解，应用起来也不够熟练。为了解决这一问题，教师在平时教学过程中可以采用类比法，让学生在掌握线段双中点问题的基础上类比双角平分线，通过不断训练，培养学生的类比意识，为接下来的应用做好铺垫。

一、类比学习基本概念

想要学好几何知识，并将其进行应用，首先要对几何知识的基本概念进行掌握和内化。当学生在初学新概念时，常常难以理解，这时教师可以结合学生的基本学情，运用旧知识来类比新知识，消除学生的陌生感，促进学生对新知识的理解。这一过程，不仅有利于学生的思维转化，还有利于学生构建新的知识框架，为接下来的应用铺平道路。

以“双角平分线问题”为例，学生知道什么是角平分线——从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，這条射线叫作这个角的角平分线。但是对于什么是双角平分线，学生很难理解。这时，教师为学生展示线段双中点问题的概念：已知两条相邻线段的中点，求两个中点之间的距离，叫作线段双中点问题。笔者再引导学生运用类比法思考和探讨双角平分线问题，最终总结出概念：已知两个相邻角的角平分线，那么，求这两个角平分线组成的角的度数，叫作双角平分线问题。经过类比，不仅降低了理解的难度，还让学生对双角平分线问题有了清晰的认识，同时，也让学生树立了类比思想。学生通过已有的知识来类比未知的内容，从而提升了学习能力，为今后的发展奠定基础。

二、类比掌握判定方法

在掌握了基本的概念后，学生在解答这类题目时，要明确线段双中点问题和双角平分线问题的判定，巩固理解概念。掌握判定方法有利于学生在面对相同问题时，能够从容解答，完善自身的知识框架。同时，判定方法的类比降低了学生的学习难度，为完善几何体系提供了一定的保障。

例1 若点M在线段AB上，点N在线段BC上，则下列等式中：①AM=BM;②AM=[12]AB;③AB-AM=CM;④CN=[12]BC，能说明点M和点N分别是线段AB和BC中点的有（ ）。

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

在判断点M和点N是否为AB和BC的中点时，需要结合线段双中点问题的概念。首先，两条线段必须是相邻的线段;其次，点M平分AB，即AM=MB，同样N点平分BC，即BN=NC;最后，根据分析选择正确的选项B。学生在得出这一结果后，笔者运用类比的方法引出双角平分线的判定。

例2 若AE为∠BAC内的一条射线，AF为∠CAD内的一条射线，则下列等式中：①∠BAE=[12]BAC;②∠BAE=∠BAD-∠EAD;③∠BAC=[12]∠BAC+∠BAE;④∠FAC=∠CAD-∠DAF，能说明射线AE是∠BAC角平分线，射线AF是∠CAD角平分线的有（ ）。

A.① B.①②③ C.①④ D.①②③④

在作答例2时，学生同样可以从双角平分线问题的概念进行分析：因为射线AE是∠BAC的角平分线，那么∠BAE=∠EAC=[12]∠BAC;同理，射线AF是∠CAD的角平分线，那么∠CAF=∠DAF=[12]∠CAD。得出结论后，再运用逆向思维去选项中找到答案，最后选择正确的选项C。

通过对比，我们发现线段双中点和双角平分线的判定方法类似。首先，我们需要根据概念判断线段的中点和角的平分线;其次，将相邻线段的中点和相邻角的平分线进行融合;最后，从定义上找出线段双中点和双角平分线。

三、类比探究相关习题

为了检验学生对双角平分线的理解和掌握，并且培养学生的数学思维，教师在讲述线段双中点题目时，可以运用类比法引出双角平分线题目，让学生在作答时对比其中的相似之处，在不断的探究和分析中，掌握其中的内涵和方法，从而实现知识迁移。最后，通过最简洁和熟悉的手段将问题解决，提升学生解决问题的能力。这一过程的开展不仅让学生巩固了线段双中点的知识，还优化了学生对双角平分线的内容的学习，最终将新旧知识进行融合，完善了自身的知识框架和数学体系。

例3 已知线段AB=10cm，C为直线AB上一点，M、N分别为AC、BC的中点，若BC=4cm，求MN的长。

经过思考后，学生写出了解题过程：

①当C点在线段AB中间时，∵AB=10，BC=4，∴AC=AB-BC=6，∵M是AB线段的中点，N是BC线段的中点，∴MC=[12]AC=3，CN=[12]BC=2，∴MN=MC+CN=3+2=5（cm）;

②当C点不在线段AB中间时，AC=AB+BC=14，∴MC=[12]AB=5，BN=[12]BC=2，∴MN=MC+BN=5+2=7（cm）。

故MN的长为5cm或7cm。

笔者看到学生的解题思路很清晰，解答过程也很顺利，于是进行了知识迁移。

例4 已知∠AOB=60°，∠BOC=40°，OM、ON分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数。

在作答例4时，笔者提示学生同样用类比的方法解题。于是，学生们模仿例3进行了作答，具体过程如下：

①当OC在∠AOB内时，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-40°=20°，∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=[12]∠AOC=10°，∠NOC=[12]∠BOC=20°，∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+20°=30°;

②当OC不在∠AOB内时，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+40°=100°，∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=[12]∠AOB=30°，∠NOB=[12]∠BOC=20°，∴∠MON=30°+20°=50°。

故∠MON=30°或50°。

通过类比例3，学生的思维得到了发展，从而在面对双角平分线问题时，困难也能够迎刃而解。为了巩固学生对双角平分线的认识，笔者增加了类比训练：

1.已知线段AB=10cm，点C在线段AB上，BC=6cm，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长。

2.已知∠AOB=100°，∠BOC=70°，OM、ON分别平分∠AOB和∠BOC，求MON的度数。

四、教学反思

综上所述，类比教学在几何课堂中的应用有利于学生对几何知识的掌握和内化。因此，在平时的教学过程中，教师要注意结合学生的基本学情和认知规律，让学生在类比的过程中拓展几何思维，通过构建新旧知识之间的联系，最终形成知识框架，为今后的成长和发展奠定基础。类比思想除了在线段双中点问题和双角平分线问题上进行应用外，还可以在其他的几何知识中应用。所以，教师需要做更深入的研究和探讨，为学生构建高效课堂，让学生真正地喜欢上数学。

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学天润城分校）