培养学生“画图、识图与用图”能力的几点思考

安振亚

(田家炳实验中学，安徽 临泉 236400)

空间几何体源于对客观事物的抽象，基于对物理属性的舍弃，而只关注它的大小、形状与位置关系.图形是空间几何体的一种表现形式，是开展直观想象的重要媒介，是理解与解决问题的重要工具.基于此，在实际教学中，有经验的数学教师一般会提醒学生：如果题目有图形，那么要借助图形解题；如果题目没有图形，那么要先画出图形再解题.然而，当面对一道具有几何背景且没有给出图形的试题时，一部分学生往往想不到画图；或者虽然想到画图，但是画不出图形；或者虽然能画出图形，但是画出的图形“词不达意”.在数学教学中，如何提升学生画图、识图以及用图解题的能力呢？笔者以3道试题为例，从试题分析、解后思考两个方面做了一些浅显的探讨，与大家交流，以期抛砖引玉.

1 试题分析

以下3道试题均来自2020—2021学年某校高一下学期数学期中试卷.该校是安徽省级示范高中，学生的数学基础较好，然而从阅卷情况和考后访谈看，这3道试题错误较多，得分率较低.

例1伯乐树是我国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量，在点A处测得树干底部在西偏北30°的方向上，沿直线向西前进3.4 m后，在点B处测得树干底部在西偏北40°的方向上，此时树干顶部的仰角为60°，则该伯乐树的高度为______(提示：sin 10°=0.17).

分析本题以实际问题为背景，考查正弦定理等知识，对学生的空间想象、运算求解以及作图能力要求较高.由于题目没有给出图形，因此需要学生读懂题意，画出示意图，并借助图形标示出关键数量关系、位置关系来理解题意.

如图1，在△ABC中，由∠CAB=30°，∠CBE=40°，得∠ACB=10°.由正弦定理，得

图1

在Rt△BCD中,

故选A.

反思本题属于“不可到达”问题.这类问题在人教A版《数学(必修2)》中共出现3处，分别是第50页例10、第51页练习第2题、第53页习题6.4第8题.其中前两处是共面问题，即两次测量点与待测物体在同一个平面内；第3处是异面问题，即两次测量点与待测物体不在同一个平面内，而例1是该问题的一个特例.这3个问题的共性是图形都已经给出，都是正弦定理的应用.通常情况下，学生应该做过这3道题目，教师也应该至少讲解过其中的一道.因此，例1本该成为学生得分的保证，然而实际情况却相反.由于例1没有给出图形，学生又画不出图形，没法借助图形理解与解决问题，只能作罢.由此可见，对学生理解题意而言，图形至关重要.

分析本题主要考查三棱锥的表面积、球的体积等知识，考查学生空间想象与运算求解能力，对学生的作图能力有一定要求.由于试题没有呈现图形，因此需要学生根据题意画出示意图.解决该题有两种思路：一种是把三棱锥补成长方体，利用长方体与它的外接球之间的关系求解；另一种是结合三棱锥的结构特征，寻求它的外接球的球心位置(到各顶点的距离相等)，进而构建等量关系处理.

解法1因为CD=2，AC=AD，且AC⊥AD，所以

即

x2=4R2-4.

故选C.

图2

在直角梯形OO1AB中，设AB=x，则

从而

解得

即

故选C.

反思在教学几何体的外接球问题时，教师往往会介绍长方体的外接球，并告诉学生“长方体的体对角线的长度等于它的外接球的直径”，从而建立长方体的棱长与它的外接球半径之间的关联.然而，对于大部分学生来说，见到长方体尚且能想到它的外接球，但是对于一般的几何体(比如例2中的三棱锥)，学生很少能想到把三棱锥补成长方体处理.受知识经验的限制，学生也很少能想到像解法2那样，根据三棱锥和球的性质，确定球心的位置，进而建立球的半径与三棱锥的3条侧棱长的等量关系求解，也很少去思考这两种解法之间的联系.因此，借助图形想象与分析问题是难点.需要强调的一点是本题的解法1和解法2在本质上是一致的.

分析本题主要考查诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式、向量的数量积等知识，综合性强，难度较大.其中，第2)小题思路较多，既可用正弦定理结合三角恒等变换解决，也可以用余弦定理列方程组处理，还可以利用向量法解决.如果能想到“ccosB=4”的几何背景，那么就能为解决问题带来意想不到的惊喜.

ccosB=4.

(1)

从而

(2)

把式(1)代入式(2)，得

ccosB=4.

c2-b2=12;

(3)

再由c2=a2+b2-2abcosC,得

c2=b2+2b+4.

(4)

图3

BD=ccosB=4.

进而

2 解后思考

以上3例暴露出部分学生作图、识图以及用图解题能力的不足.要改变这种状况，笔者认为有必要做好以下3点：

2.1 从实际情境中抽象出图形，用图形表征问题

学生时常会遇到各种实际问题.这些问题往往蕴涵着各种复杂的信息，这就需要学生去伪存真，提取有效的解题信息，舍弃无效的干扰信息.而对于这些有效的信息，需要学生采用某种方式把它们呈现出来，再加工整合，为分析与解决问题提供帮助.而这个过程往往需要“抽象”，把实际问题中呈现的位置关系与数量关系提炼成图形，并借助图形来表征问题.利用图形的直观、形象诠释问题的内在联系，把握问题的本质.

比如例1，首先要对研究对象进行初次抽象，即把两次测量点分别抽象成点A,B，把伯乐树树干的底部和顶部分别抽象成点C，D,把树干抽象成线段，把地面抽象成一个平面；其次由测量的两个角与两个测量点的距离确定点C的位置；最后根据在点B处的仰角确定点D的位置，联结BD，即可得到图1.然后在图形上标注关键的位置与数量信息，结合解三角形的有关知识解决问题.

因此，在实际教学中，教师要重视抽象图形的过程，让学生明白“抽象什么(构成图形的基本要素)”“如何抽象(基本要素的析出与整合)”“用图形如何表征问题”；重视图形的绘制过程，让学生知道“画什么(作图的对象)”“怎样画(作图的基本要领)”“还可以怎样画(对图形的优化)”，并指导学生动手规范作图；还要重视3种语言(文字语言、符号语言、图形语言)之间的相互转化，让学生领悟图形语言在3种语言中的支架作用.

2.2 发挥空间想象力，用图形分析问题

图形能直观、形象地呈现出问题中的各种有效信息.借助图形展开想象，可以挖掘问题中各要素之间的内在关联，并加工重组这些信息，进而形成完善的解题思路.

我们能想到△ACD所在的平面截三棱锥的外接球，得到一个圆面.由于AC⊥AD，从而△ACD是直角三角形，且该截面圆的圆心O1是斜边CD的中点.再联想到球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，故外接球的球心O在过点O1且垂直于平面ACD的直线上.不难得到该直线上的任意一点到△ACD的3个顶点的距离相等，因此只需球心O满足OA=OB即可(如图2).然后把直角梯形OO1AB从图2中抽象出来，利用平面几何的知识即可解决.

进一步思考，球心的位置在哪里呢？由于三棱锥的3个侧面△ABC,△ABD,△ACD均为直角三角形，从而分别过它们斜边的中点作三角形所在平面的垂线，则由球的性质不难得到它们必然相交于一点，而该点就是球心O(如图4).如果以垂线段OO1,OF,OG为长方体的长、宽、高可以构造一个长方体AIO1J-HFOG，它的体对角线AO即为球的半径，且其长、宽、高分别为三棱锥的3条侧棱的一半，进而建立等量关系求出侧棱AB的长度.

图4 图5

更进一步，什么样的三棱锥才可以补成长方体以及如何补成长方体呢？就例2而言，在三棱锥A-BCD的一个侧面是Rt△ACD的情况下，当点B在平面ACD上的射影是矩形ACND的顶点时，才能补成长方体.

以上过程离不开空间想象能力的支持，也离不开图形的构建与整合.因此，在实际的教学中，教师要发挥学生的空间想象力，形成“有图观图、无图想图与画图”的意识，让图形成为学生认识问题、分析与解决问题的得力工具.教师要常常提示学生“这个问题需要画图吗”“你能画个图吗”“如何画出这个图”.

2.3 建立形与数的联系，用图形解决问题

数与形是数学的一对眼睛，把数与形联系起来，发挥数的严谨性与形的直观性，促进对数学本质的把握.在解题时，要善于观察“数”背后的几何背景，构建与“数”相对应的图形，借助图形解决问题，往往能化复杂为简单，起到意想不到的功效.

当然，直观想象的核心主要在于利用图形来表征问题，建立形与数二者之间的联系，从而加深对事物本质和规律的认识[1].以图形为纽带，发展学生的几何直观与空间想象力，是促进学生直观想象素养提升的有效方式.因此，在实际数学教学中，培育学生画图、识图以及用图的能力与习惯，应成为教师的必然之举.而作为数学可视化的重要云梯，GeoGebra软件可实现“形”与“数”的自由转换，建立“可见形式”与“抽象形式”的直接联系[2].它能凭借优良的构图、动态演示等功能，实现抽象的数学知识直观化、静态的图形动态化，进而打通“意会”与“言传”之间的通道，助力学生直观想象素养的发展.