从高考的视角例谈数学运算的价值与机制

沈 良

(萧山区第五高级中学,浙江 杭州 311202)

数学作为一门基础学科，在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用[1].数学高考在高考选拔中扮演着重要而独特的作用，试题具有良好的区分效果，其选拔功能历来被重视和认可[2].2019年，教育部明确提出要立足全面发展育人目标，构建包括“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”在内的高考考查内容体系，这为科学构建中国高考评价体系提出了明确目标，提供了基本遵循依据[3].两年过去了，当我们看到2021年全国和各省市的数学高考卷时，还是有许多惊喜.我们发现数学高考试题聚焦核心素养，考查关键能力，突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向和能力为重，同时倡导理论联系实际、学以致用，体现数学的应用价值等.

数学运算作为数学六大核心素养之一，在数学解题中具有至关重要的作用.数学运算是解决数学问题的基本手段之一，尤其在数学高考纸笔测试的过程中，数学运算是最重要的求解工具.章建跃先生曾讲：“推理是数学的‘命根子’，运算是数学的‘童子功’.”运算与推理息息相关，运算本身就是一种演绎推理.在数学解题中，首先以逻辑推理为基础，将逻辑推理的结果以数与式的形式呈现，然后通过运算转化实现问题求解.下面笔者结合2021年的部分高考试题，例谈数学运算的价值意义与发生机制.

1 数学运算的价值与意义

1.1 数学运算是代数变形的基本方法

代数恒等变形是数学解题的基石，变形能力也体现着学生的解题能力.从运算角度看，高中阶段的代数变形就是含字母的运算，实现的是一种有方向的转化与化归.通过运算，实现化繁为简，实现问题求解.2021年的数学高考不乏直接通过代数运算寻求结果的试题，这样的运算不仅考查学生的运算能力，也考查学生思维的缜密性.

例1已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(其中x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是

( )

A.直线和圆 B.直线和椭圆

C.直线和双曲线 D.直线和抛物线

(2021年浙江省数学高考试题第9题)

分析由f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，得

f(s-t)·f(s+t)=f2(s)，

即 [a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b]=(as2+b)2.

如何化简上式是本题的关键.运算中可以抓住代数式之间的联系，左式运用平方差公式可得

(as2+at2+b)2-(2ast)2=a2s4+2abs2+b2，

化简整理得a2t4+2abt2-2a2s2t2=0，

即

at2(at2+2b-2as2)=0，

于是

故点(s,t)的轨迹是直线和双曲线.从这个解题过程可以看到，合理运用运算规则和运算公式进行化简是数学运算的必备能力.

1.2 数学运算是几何度量的重要工具

高中数学中代数与几何是相辅相成的.在数学解题中，几何问题的解决往往可用代数方法进行刻画转化，也就是寻找到与几何命题相应的代数命题，再进一步运用代数运算实现求解.在高考中遇到这样的问题，需要第一时间找到相应的代数结论.

例2若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则

( )

A．eb

C．0

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第7题)

分析首先可以探索到“两条不同切线”的等价条件为“两个不同切点”.若设切点为(x0，ex0)，则切线方程为

y=ex0(x-x0)+ex0.

因为过点(a,b)，即

b=ex0(a-x0)+ex0，

所以关于x0的方程b=ex0(a-x0)+ex0有两个解.设g(x)=(a+1-x)ex，则

g′(x)=(a-x)ex，

故g(x)在(-∞,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，且

g(x)max=g(a)=ea，

当x→-∞时，g(x)→0，于是0

本题将两条切线转化为两个切点，再将两个切点转化为方程的两个解，通过运算实现几何性质刻画，可以发现这样的运算实际上难的是第一步：将几何问题转变为代数问题.

1.3 数学运算是概念表达的重要形式

概念是逻辑思维的细胞，是反映事物本质属性和特征的思维形式.数学概念是揭示现实世界数量关系和空间形式的本质属性的思维形式.数学概念往往通过定义、描述等方式给出，有时也可通过运算等形式进行符号化定义，比如指数函数y=ax(其中a>0,a≠1)，角的正弦值y=sinα(其中y为角的终边与单位圆交点的纵坐标).

例3有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

( )

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第8题)

在选项A中，P(AC)=0≠P(A)P(C)；

在选项D中，P(CD)=0≠P(C)P(D).

故选项B是正确的，事件甲和丁相互独立.在考试环境下，面对迷惑的数字关系，可以从定义出发通过数量关系进行探索，从而得到正确结果.

1.4 数学运算是探索数学规律的重要途径

数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.在一定意义上，数学研究的就是变化中不变的规律.而研究事物变化规律的方法和形式有很多，有时可借助观察直接发现数学规律，有时可通过数学运算寻找变化规律.特别地，在高考限时考试中，寻找数的变化规律，有利于我们较好地找到问题解决的路径.

(2021年全国数学高考Ⅰ卷理科试题第16题)

分析本题以生活中的折纸问题为背景，探究纸对折过程中不同规格图形的面积之和，以运算为路径，列举前几次的变化规律如表1所示：

表1 对折后的变化规律

因此，对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5种，且

利用错位相减法求和可得

2 数学运算的发生机制

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等[1].这里主要探讨在数学运算过程中，如何在一些关键点上探究运算思路和选择运算方法等.

2.1 以形助数探索运算方向

数学运算的优势是逻辑严谨、推证严密，但其劣势是有时容易陷入“形式化”的海洋中，不容易直接发现一些结论.因此，在有些问题中以形助数，能帮助我们迅速取得运算的突破口，这也体现了“直观想象”素养与“数学运算”素养的融合.

( )

(2021年全国数学高考甲卷理科试题第12题)

分析f(x+1)为奇函数，其代数刻画为f(-x+1)=-f(x+1)，后续转化处理相对难捉摸；而几何刻画是f(x+1)的图像关于原点中心对称，即f(x)图像关于点(1,0)中心对称，因此

f(1)=0,f(0)=-f(2).

同理,由f(x+2)为偶函数，可得f(x)的图像关于x=2轴对称，从而

f(3)=f(1)=0，

从而

a+b=0， -(4a+b)=6，

解得

a=-2,b=2，

当然，结合图像还可以发现f(x)的周期为4，运用这个性质解题效果会更好.在时间有限的情况下，我们需要找到一些问题的突破口，而数形结合就是一种很好的方式.

2.2 借数字特征选择运算路径

数学运算不是盲目的，它是有方向的.数学运算中要观察具体数与式的特征，合理利用运算定理和运算性质，展开联想巧妙构造，有效寻找到数学运算的路径.运算中蕴涵思维，思维通过运算实现.

( )

A．a

C．b

(2021年全国数学高考乙卷理科试题第12题)

从而

a-c=f(0.01)，

易得

且当0≤x<2时,

从而f′(x)≥0，故f(x)在[0,2)单调递增，于是

a-c=f(0.01)>f(0)=0，

得a>c.

同理比较b与c的大小，可构造函数

则

b-c=g(0.02)，

由

容易判断当x∈[0,+∞)时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，从而

g(0.02)

故

b

因此

b

观察数字特征成为构造运算路径的关键点.

2.3 以思想方法指引运算过程

有方向的运算，还包括以数学思想方法为指导.数学思想方法是人们从某些具体数学内容和对数学的认识过程中概括出来的，是对所使用的方法和规律的理性认识，具有普遍的指导意义和相对稳定的特征.在数学运算过程中，需要以数学思想方法为指导，有目的、有策略、有方向地进行运算.

例7如图1，已知F是抛物线y2=2px(其中p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2.

图1

1)求抛物线的方程；

2)设过点F的直线交抛物线于点A,B，若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围.

(2021年浙江省数学高考试题第21题)

分析本题给人的感觉是元素较多，直线l分别与MA,MB,AB,x相交，且A,B又是过点F的直线与抛物线的交点，直线AB的转动和直线l的平移影响了点P,Q,R,N的位置，在|RN|2=|PN|·|QN|条件下，求l在x轴上截距的取值范围.

第1)小题中容易求得抛物线的方程为y2=4x.第2)小题中，首先将“|RN|2=|PN|·|QN|”代数化，因为点N恰好在x轴上，可得

也就是围绕着纵坐标关系进行运算，且目标指向为直线l横截距的计算，所以

欲计算yPyQ，考虑l与MA和MB相交，进一步考虑AB与抛物线相交，先联立x=ty+1和y2=4x，得

y2-4ty-4=0.

记A(x1,y1)，B(x2,y2)，得

y1+y2=4t,y1y2=-4.

同理可得

结合y1与y2的关系式，可以得到关于m,t的关系式，化简得

易知m≠1，参变分离可得

针对此题，在考试限时的条件下，面对这样的大运算量，我们不仅需要运算仔细，更需要把握运算的方向，由于直线AB和l的运动会影响点P,Q,R,N的位置，因此从直线AB与抛物线入手，通过点A表示点P,点B表示点Q，寻找点坐标之间的关系，这就是数形结合、转化与化归指导下开展的数学运算.

本文从高考解题的视角，探讨了数学运算在数学解题中的作用.在数学纸笔测试中，数学运算具有十分重要的作用，它是代数运算的基本方法、几何度量的重要工具、数学概念表征的重要形式和数学规律探索的重要途径等.当然，在数学解题中，数学运算也离不开其他素养和能力的支持，比如直观想象有利于从繁杂代数形式寻找到一些结论，为简化运算铺路；比如数学思想方法指引下的数学运算有利于我们找到运算方向，使运算有理有据等.当然，我们也要从高考评价的要求出发，反思我们日常的运算教学.