一类分数阶微分方程 m 点边值问题的正解存在性*

赵 微, 李 娜

(大庆师范学院数学科学学院,163712,黑龙江省大庆市)

0 引 言

近几十年来，分数阶微分方程的边值问题研究受到了许多学者的关注[1-10]. 文献[1-5]主要研究了Riemann-Liouvill分数阶导数定义下的分数阶微分方程边值问题. 文献[6,7]主要研究了Caputo分数阶导数定义下的分数阶微分方程边值问题. 文献[8-10]研究了“适型分数阶”导数及其边值问题. 上述文献中，大多采用的是锥拉伸与锥压缩不动点定理，或者Leggett-Williams定理，得到了分数阶微分方程边值问题正解存在的结果. 文献[10]研究了如下分数阶微分方程的边值问题

其中Dα关于α是适型分数阶导数. 作者运用锥上的不动点定理，得到了正解存在的结果.

受上述文献的启发，本文将研究如下适型分数阶导数定义下的m点边值问题,

Dvu(t)+h(t)f(u(t))=0,0

(1)

u(0)=u′(0)=0,

(2)

(3)

其中Dv,Dα是适型分数阶导数，ηi∈(0,1),0<η1<η2<…<ηm-2<1,βi∈[0,∞),且允许h(t) 在t=0 或t=1处奇异.

首先,文中会构建关于问题(1)-(3)的格林函数，并推导其相应的性质；其次，通过运用凸泛函不动点指数定理来计算不动点指数，得到上述问题至少存在一个正解的结论；最后，给出一个例子来说明主要定理的应用.

1 准备工作

为方便起见，首先给出一些必要的定义和引理；其次推导出相应的分数阶微分方程的格林函数，并推导出格林函数的一些性质.

定义2.1[10]连续函数f:(0,+∞)→的α∈(n,n+1] 阶适型分数阶导数定义为

由适型分数阶导数的定义，可知α=1时适型分数阶导数就是传统一阶导数的定义.

定义2.2[10]连续函数f:(0,+∞)→的α∈(n,n+1] 阶分数积分定义为

其中In+1是n+1 重积分算子.

引理2.1[10]设α∈(n,n+1],u∈C(0,+∞) 具有α(>0) 阶适型分数阶导数. 则

IαDαu(t)=u(t)+C0+C1t+…+Cntn,

其中Ci∈,i=0,1,2,…,n.

引理2.2 给定y∈C[0,1]. 则关于问题Dvu(t)+y(t)=0,0

其中

证明由引理2.1可得上述问题的通解为

根据(2)式，可知C0=C1=0. 另一方面,根据文献[10]中Dα(tp)=ptp-α, 则可从(3)式中得到

经计算可得

于是有

引理2.3 设g(t,s)为引理 2.2中所给函数. 则它满足

(1)g(t,s)≤sv-2(1-s),∀t,s∈[0,1].

证明(1) 当 0

为方便，做如下假设:

(H3)f:[0,+∞)→[0,+∞) 是连续的.

定义算子

引理2.4 设条件 (H1)-(H3) 满足. 则A:P→P全连续.

证明由引理 2.3 及A的定义,有

且

由Azela-Ascoli定理知A:P→P全连续.如果A有不动点u≠0, 则u是(1)-(3)的正解.

下面介绍有关凸泛函及凸泛函的两个不动点指数引理.

定义2.3[11]如果锥P上的泛函ρ:P→，对于∀x,y∈P,t∈[0,1]，满足

ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y),

则称ρ是锥P上的凸泛函.

(ⅱ)ρ(Ax)≥ρ(x) 且Ax≠x,∀x∈P∩∂Ω，

则不动点指数i(A,P∩Ω,P)=0.

2 主要结论

令

显然有h0≥hτ>0.

定理3.1 假设 (H1)-(H3) 成立. 如果存在常数a和b,使得当 0

(ⅰ)b

则分数阶微分方程边值问题 (1)-(3)至少存在一个正解.

证明令

则ρ1:P→[0,+∞)是一致连续的凸泛函，且ρ1(θ)=0.对于∀u∈P{θ},

假设A在P∩∂Ω1上没有不动点. 则由引理2.5知

i(A,P∩Ω1,P)=1.

(4)

令

所以由引理2.3有

假设A在P∩∂Ω2上没有不动点，由引理2.6 知

i(A,P∩Ω2,P)=0.

(5)

定理3.2 假设 (H1)-(H3) 成立. 如果存在常数a和b，使得当0

则分数阶微分方程边值问题 (1)-(3)至少存在一个正解.

设

于是ρi:P→[0,+∞) 是一致连续凸泛函，且ρi(θ)=0(i=1,2) .对于 ∀u∈P{θ},

令 Ω1={u∈C[0,1]|ρ2(u)

所以由引理2.6知

i(A,P∩Ω1,P)=0.

(6)

如果u∈P∩∂Ω2, 则有

由引理2.5知,

i(A,P∩Ω2,P)=1.

(7)

4 例 子

例1 考虑如下分数阶微分方程边值问题