Schatten类算子空间上的2-局部等距算子*

李 磊

(南开大学数学科学学院,300071,天津市)

0 引 言

Ta,b(a)=Δ(a)以及Ta,b(b)=Δ(b),

对于无限维且可分的希尔伯特空间H来说,Semrl[19]证明了L(H) 是2-自同构自反的;更进一步的,对于一般的希尔伯特空间H,Ayupov 和 Kudaybergenow[2]证明了L(H) 是2-自同构自反的. 另一方面,当H是无限维可分的复希尔伯特空间时,L(H) 是2-等距自反空间[13].

最近,本文作者及其合作者在文献[11] 中考虑了弱拓扑下的2-局部等距算子,也即是定义了弱2-局部等距算子. 设E和F是巴拿赫空间,Δ 是从E到F的算子 (不要求线性,也不要求连续性). 如果对任意的x,y∈E和f∈y*,均存在从E到F的线性满等距算子Tx,y,f(依赖于x,y和f) 使得

fΔ(x)=fTx,y,f(x),fΔ(y)=fTx,y,f(y),

则称Δ是一个弱2-局部等距算子.

文献[11] 用复分析的方法证明了球面 Kowalski-Sodkowski 定理. 由此研究了Lipschitz 函数空间上的弱2-局部等距算子的线性性.

对于向量值的函数空间,当K是σ-紧度量空间且E是光滑自反巴拿赫空间 时,Al-Halees 和 Fleming[1]证明了:C0(K,E) 是2-等距自反当且仅当E是2-等距自反的. Jiménez-Vargas等[8]人把此结果推广到向量值 Lipschitz 函数空间上,他们证明了[8]:当X和Y是紧度量空间且E是2-等距自反的光滑自反空间时,从 Lip(X,E) 到 Lip(Y,E) 的2-局部等距算子Δ一定是满线性算子,进而可以写成加权复合算子的形式. 最近,本文作者及其合作者研究了可微函数空间C(1)[0,1] 上的2-局部等距算子[10].

1 主要定理及其证明

‖x‖p:=(tr(x*x)p/2)1/p<∞

φx,y(x)=φ(x),φx,y(y)=φ(y).

tr(φ(x)φ(y)*)=tr(xy*).

因此,可以导出:对任意的有限秩算子x1,x2∈L(l2),都有

tr(φ(x1+x2)-φ(x1)-φ(x2))φ(y)*=tr((x1+x2)-x1-x2)y*=0,

进而可知

tr(φ(x1+x2)-φ(x1)-φ(x2))(φ(x1+x2)-φ(x1)-φ(x2))*=0.

‖φ(x)-φ(y)‖p=‖x-y‖p.

值得注意的是,Molnár 在文献[15] 中定义了另外一种2-局部等距算子.

定义1.2 设E和F是赋范空间,φ是从E到F的映射 (不要求线性). 如果对任意的x,y∈E,均存在从E到F的满等距算子φx,y(不要求线性),使得

φ(x)=φx,y(x),φ(y)=φx,y(y).