四旋翼无人机的滑模自抗扰姿态控制器设计

吴跃文， 郑柏超,2， 李 惠

(1.南京信息工程大学自动化学院，南京 210000； 2.江苏省大气环境与装备技术协同创新中心，南京 210000)

0 引言

四旋翼无人机作为一种小型飞行器，近些年来因其广泛的应用领域(如植保、电力巡检、航空拍照、地质勘探、森林防火巡查等)而颇受关注[1-2]。四旋翼无人机是一种典型的多输入多输出且状态耦合的非线性欠驱动系统，当四旋翼无人机在室外飞行时,必须要考虑到各种因素的影响，如何在有阵风干扰、模型误差作用的情况下使四旋翼无人机保持平稳的飞行姿态，并且能对遥控器给定的指令进行快速反应，关键在于飞行控制设计的优劣，所以研究四旋翼无人机的姿态控制具有实际意义和应用价值。

目前国内外应用比较广泛的控制方法有PID控制[3]、滑模控制[4]、自抗扰控制[5]等。其中，PID控制具有结构简单、调节方便、工程上易于实现的特点，但在外部扰动的作用下，跟踪精度却不太理想。文献[6]针对四旋翼无人机设计了一种非线性PID控制器来跟踪给定的轨迹，结果表明，相较于线性PID控制器，所设计的控制器具有更小的稳态误差。滑模控制作为一种非线性变结构控制方法，具有响应速度快、鲁棒性强的优势，已被广泛应用于各类工程系统。文献[7]提出了一种基于非奇异终端滑模的四旋翼无人机位置控制算法，通过仿真证明该算法能够快速且精确地进行轨迹跟踪。

自抗扰控制由PID控制演变而来，是一种不依赖于精确系统模型的非线性控制方法，主要由跟踪微分器(TD)、扩张状态观测器(ESO)、非线性状态误差反馈控制器(NSEFC)3个部分组成。TD的作用是提取合理的控制信号来解决响应速度和超调量之间的影响；ESO的作用是处理模型内部的不确定以及外部扰动给系统带来的影响；NSEFC的作用是补偿系统的总扰动。文献[8]将PID与自抗扰控制结合运用于四旋翼无人机的姿态控制，通过设计恰当的ESO和NSEFC，有效地抑制了阵风对四旋翼无人机飞行姿态的影响。

受到上述文献的启发，针对四旋翼无人机的内部模型不确定以及阵风干扰，本文首先建立了四旋翼无人机的非线性模型，接着提出了一种内外环控制策略，内环采用自抗扰控制器，外环采用非奇异终端滑模控制器以实现四旋翼无人机的姿态控制。自抗扰控制器的优点在于不依赖精确的系统模型，能动态补偿系统的总扰动;非奇异终端滑模控制器的优势在于能够提高系统的快速性。经过理论和仿真验证，本文设计的控制算法兼具两种控制技术的优点。

1 四旋翼无人机数学模型

根据文献[8]，本文建立了四旋翼无人机的横滚角模型

(T1(t)-IRq(t)Ω(t)+q(t)r(t)(Iy-Iz))/Ix

(1)

四旋翼无人机的俯仰角模型

(T2(t)-IRp(t)Ω(t)+p(t)r(t)(Iz-Ix))/(Iycos(φ(t)))

(2)

四旋翼无人机的偏航角模型

(3)

其中:p(t)，q(t)，r(t)分别代表四旋翼无人机关于机体坐标系的横滚轴、俯仰轴、偏航轴角速度;T1(t)，T2(t)，T3(t)分别为四旋翼无人机横滚、俯仰、偏航方向上的驱动力矩矢量；Ω(t)=-Ω1(t)+Ω2(t)-Ω3(t)+Ω4(t)，Ωi(t)是每个螺旋桨的转速矢量，i=1，2，3，4;IR是每个螺旋桨对应的转动惯量;Ix,Iy,Iz分别是四旋翼无人机在机体对应坐标轴上的转动惯量。

图1和图2分别是地面坐标系和四旋翼无人机的机体坐标系。

图1 地面坐标系Fig.1 Ground coordinate system

图2 四旋翼无人机的机体坐标系Fig.2 Body coordinate system of quadrotor

图中：xE，yE，zE，oE分别为地面坐标系的坐标轴和原点；xB，yB，zB，oB分别为四旋翼无人机机体坐标系的坐标轴和原点；F1，F2，F3，F4分别为四旋翼无人机对应位置电机提供的推力矢量。

(4)

(5)

T1(t)/Ix=b0u1(t)+Δu1(t)

(6)

F1(t)=Δu1(t)-IRq(t)Ω(t)/Ix

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

为了简化证明，本文的证明过程以横滚角模型为基础，整个控制结构如图3所示。

图3 四旋翼无人机控制结构框图Fig.3 Block diagram of control structure of quadrotor

控制算法的外环由非奇异终端滑模控制器组成;内环由非线性状态误差反馈控制器、扩张状态观测器和四旋翼无人机模型组成。其中，横滚角控制系统中的ρ1(t)为给定的目标角度信号，φ(t)为当前的横滚角，ε1(t)为外环的偏差输入,v1(t)为外环给出的目标角速度，z1(t)和z2(t)分别表示扩张观测器对状态x1(t)和x2(t)的观测值，ξ1(t)为内环的偏差输入。

2 内环控制器设计

2.1 ESO

本文内环采用的自抗扰控制器由ESO和NSEFC构成。ESO的优点在于能处理不精确的数学模型，系统内部未建模动态可以当作内部扰动处理。总扰动由内部及外部扰动组成，ESO可以实时估计系统的总扰动。

针对横滚角模型式(8)、式(9)设计ESO

(14)

(15)

其中，e1(t)=z1(t)-x1(t)为ESO的估计误差。

fal(η(t),α,δ)函数的表达式为

(16)

fal(η(t),α,δ)函数是一个非线性分段函数，增益α，δ分别满足0<α<1，δ≥0，且此函数的分段点为不可导点，为了简化证明过程，fal(η(t),α,δ)用fal(η(t))表示。

文献[9]给出了证明ESO的有效性定理。

定理1针对横滚角模型式(8)、式(9)，若存在可调正增益l以及有界正常数M，使

(17)

(18)

成立，则设计的ESO是有效的。式中：i=1，2；γ为一个不依赖于l的正常数。

2.2 NSEFC

本文设计的NSEFC的作用主要是补偿系统的总扰动F1(t)及跟踪外环输出的目标角速度信号v1(t)。

本文NSEFC的设计步骤分为如下两步。

1) 动态补偿线性化。

ESO式(14)、式(15)实现了对系统状态x1(t)和x2(t)的实时估计。为了实现对系统的动态线性补偿，系统补偿量u可取

(19)

(20)

2) 反馈控制律u0的设计。

针对线性系统式(20)，为了跟踪外环给定的目标角速度信号v1(t)，定义内环的偏差输入信号为ξ1(t)，满足ξ1(t)=v1(t)-z1(t)。反馈控制律u0设计为

u0=α1fal(ξ1(t),0.5,δ2)

(21)

式(21)实际上是非线性状态误差反馈控制器。式中，α1为比例因子，通过函数fal(ξ1(t),0.5,δ2)来调节比例增益。

因此，本文构造的NSEFC为

(22)

为了证明内环稳定性，首先取μ1(t)=v1(t)-x1(t)，ξ1(t)=μ1(t)-e1(t)，并对μ1(t)关于时间t求导得

(23)

选取Lyapunov函数V2(t)=(μ1(t)-e1(t))2/2，并对V2(t)关于时间t求导

(μ1(t)-e1(t))α1fal(ξ1(t))

(24)

由于函数fal(ξ1(t))是关于变量ξ1(t)的单调递增奇函数，所以有-(μ1(t)-e1(t))α1fal(ξ1(t))。由式(17)、式(18)可知，e1(t)和e2(t)是收敛到零的，μ1(t)在实际系统中也是有界的，因此ξ1(t)是有界的。

选取

(25)

式(24)可改写成

(26)

3 外环控制器设计

为了加快系统响应速度和提高姿态角跟踪精度，外环采用NSEFC。图3中，ρ1(t)为给定的目标角度信号，φ(t)为当前的横滚角信号，ε1(t)是外环的偏差输入信号，满足

ε1(t)=ρ1(t)-φ(t)

(27)

正常终端滑模面取为

(28)

式中，p和q均为正奇数，且满足q

对终端滑模面式(28)关于时间t求导得

(29)

(30)

式中，c1>0，是一个可调参数。

由ξ1(t)=v1(t)-z1(t)可知

(31)

(32)

本文外环选取的非奇异终端滑模控制器为

(33)

式中，k1是一个正的设计参数。

(34)

式中，μ1是一个正的设计参数。

定理2针对横滚角模型式(8)、式(9)，当存在正常数k1，μ1满足

k1>max|ξ1(t)|

(35)

μ1>max|ξ1(t)|

(36)

则外环设计的非奇异终端滑模控制器式(33)和式(34)是有效的。

证明如下。

(37)

对V3(t)关于时间t求导可得

(38)

(39)

对V4(t)关于时间t求导得

(40)

证明完毕。

4 仿真实验分析

4.1 参数设置

为了验证本文设计的内、外环控制器的控制效果，在仿真软件的Simulink环境下进行仿真分析，四旋翼无人机的内、外环控制器仿真参数分别如表1和表2所示。

表1 内环自抗扰控制器仿真参数Table 1 Simulation parameters of active disturbance rejection controller of inner loop

表2 外环非奇异终端滑模控制器仿真参数Table 2 Simulation parameters of non-singular terminal sliding mode controller of outer loop

4.2 跟踪仿真

本文提出的基于外环非奇异终端滑模控制器(NT-SMC)和内环自抗扰控制器(ADRC)的四旋翼无人机姿态角控制算法的优势不仅在于能够实时补偿系统扰动，还能提高系统响应速度及姿态角跟踪精度。为了验证本文优点，参考文献[9]的积分滑模(ISMC)结合自抗扰(ADRC)的控制算法和线性滑模(SMC)结合自抗扰(ADRC)的控制算法来进行姿态角跟踪性能的对比。

积分滑模(ISMC)结合自抗扰(ADRC)的控制算法同样是采用内外环控制，其设计步骤如下：

1) 内环采用自抗扰控制器，自抗扰控制器中的扩张状态观测器如式(14)、式(15)，非线性状态误差反馈控制器如式(22)；

2) 外环采用积分滑模控制器，积分滑模面Sout(t)及积分滑模控制器为

(41)

(42)

选取四旋翼无人机姿态角的初始角度为[φθψ]T=[0°0°25°]，分别跟踪如图4给定的目标阶跃角度信号ρ1，ρ2，ρ3。为了模拟外界的风干扰，本文令各姿态角的外部干扰为Δu(t)=0.5sint，仿真时间为50 s，跟踪仿真结果如图4所示。

图4 不同控制算法的姿态角跟踪性能对比Fig.4 Attitude angle tracking performance of different control algorithms

不同控制算法的控制性能见表3。

表3 不同控制算法的控制性能Table 3 Control performance of different control algorithms

由图4及表3可知，自抗扰积分滑模控制算法(ISMC+ADRC)的调节时间较长，超调量较大，比较震荡，对扰动抑制效果较差。相较于自抗扰积分滑模的控制算法(ISMC+ADRC)，线性滑模结合自抗扰的控制算法(SMC+ADRC)的调节时间较短，超调量较小，对扰动的抑制效果较好。本文提出的自抗扰非奇异终端滑模控制算法(NTSMC+ADRC)的姿态角跟踪性能均优于上述的两种控制算法，各姿态角的超调接近于零，到达稳态的时间也是最短的。由此可见,本文提出的控制算法能够有效地抑制各状态之间的耦合效应以及外部扰动，控制性能比较理想，比较适用于四旋翼无人机的姿态控制。

5 结束语

本文以四旋翼无人机的姿态系统作为研究对象，提出了结合非奇异终端滑模控制和自抗扰控制的内、外环姿态控制算法，并经Lyapunov理论证明控制算法的有效性。最后在仿真软件的Simulink环境下进行仿真对比，验证了本文所提内、外环控制算法的优点。总体而言，本文设计的内、外环控制算法的抗干扰能力较强，能够有效抑制各姿态角间的耦合效应，且对目标角度信号的跟踪精度也较高。