求解线性积分方程的压缩投影离散的Landweber 算法

罗兴钧，黄静月，张 荣

（赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000）

第一类Fredholm 积分方程常被用来模拟科学和工程中出现的一些实际问题，包括从遥测数据确定大气温度剖面、系统识别、计算机断层摄影定位肿瘤、地震勘探等[1-5].这些问题中大部分是不适定的，在某种意义上，给定数据中的小扰动可能导致相应解的大扰动.不适定问题通常用正则化方法来处理，如Tikhonov 正则化方法、Landweber 迭代等方法.

正则化方法大致有两种，变分法以及迭代法.由于变分法求解会导致逆运算，所以，迭代法是最受欢迎的正则化方法，且得到了大量的讨论[6-7]. 1951 年，Landweber 提出了求解不适定积分方程的Landweber迭代法，但该方法是在无限维空间研究的，而人们感兴趣的是有限维空间的求解[8].有限维空间求解数值解，广泛采用的方法是投影法，例如Hilbert 空间上的Galerkin 投影法以及Banach 空间上的配置法[9-10].投影法的核心思想就是用有限维空间中的投影算子来逼近无限维空间上的算子，利用有限维空间中的基底函数近似表示近似解，转化为有限维空间上的求解.具体做法第二节有详细的描述.

Scherzer 提出了一种基于非线性Landweber 迭代的多级迭代算法，该算法在每一层都需要一个终止准则来终止迭代，并提出了若干条终止准则[11].当这种方法应用于实际问题时，由于其终止准则在很大程度上依赖于对解的了解，会产生一些困难.为了克服这一缺点，Hou 和Jin 对Landweber 迭代的有限维近似进行了研究，提出了全投影算法以及与全投影算法匹配的迭代停止准则[12]. 这些方法是一种传统的投影算法，涉及大量的内积计算，计算量较大.例如，如果有限维空间的维数是2n，那么，投影算法涉及到的内积的计算个数是22n，如果采用多尺度压缩投影算法，内积的计算个数是（n+1）2n，当n比较大时，显然减少了内积计算量，确保了近似解的收敛率.这就是我们方法的优点.

1 多尺度压缩投影方法

在这一节中，提出求解线性积分方程的多尺度压缩投影方法.

设E⊂Rd是一个有界闭域，其中d≥1.X是Hilbert 空间L2（E），内积为（·，·），范数为‖·‖.定义Fredholm 积分算子A为（Ax）（s）：=∫E k（s，t）x（t）dt，s∈E，其中，核函数k为E×E上的连续函数.考虑形如（1）式的第一类积分方程：

2 误差估计

现在估计压缩投影法（4）式的收敛性.为此，对某些正常数r，令η∶=2-r/d，引入假设.

假设1[15-21]（1）存在正常数cr≥1，使得：‖（I-Pj）A‖≤cr ηj，且‖A（I-Pj）‖≤c r ηj；（2）紧线性积分算子A以常数1 为界，即‖A‖≤1；（3）0＜μ＜1/2.

首先，给出一个非常重要的引理[15].

接下来，提出以下修正的偏差原理来选择终止指标，并提出第3 点所需的一个预备引理.

规则1 假设1（1）～（3）成立，则有：

3 收敛性分析

接下来，先给出在后面定理的证明中会用到的一些引理.

定理得证.

4 数值算例

在本节中，用数值算例来验证所提方法的有效性.考虑用以下核函数求解线性积分方程（1），得：k（s，t）=s-t，s＞t；k（s，t）=0，s≤t.取y（s）=（6s2-4s3+s4）/24，则该问题的唯一最小范数解为：x+（t）=（1-t）2/2[12].容易验证x+∈R（A*），这意味着ν=1.在这种情况下，最优收敛率是δ1/2.

取yδ（s）=y（s）+δ·ν（s），其中ν（s）为均匀分布的随机值且对任意的s∈[0，1]，有|ν（s）|≤1.设：δ∶=‖y‖·e/100 其中e=｛10，5，2.5，1.25，0.625｝.

其中，j=0，1，2，…，2i-1-1.

表1 包含离散Landweber 迭代（4）的结果，并利用规则1 选取迭代停止次数k（δ，n），其中cr=1，η=2-1，μ=0.46，τ=2.为了表明收敛率与扰动水平和离散水平的关系，选取了不同的δ和n值.表1 中的收敛率估计与定理1 的结论非常吻合.这表明所提出的压缩算法的有效性.

表1 数值结果