巧用一题多解 锻炼学生数学思维

马贵生

摘 要：基于新课改的要求，数学教学的重点是提高学生的核心素养。对此，教师要注重激发学生的主观能动性，创设锻炼学生数学思维能力的环境。文章以几何图形类问题一题多解和字母参数型题型一题多解的教学为例，探究巧用一题多解，锻炼学生数学思维的具体策略。在具体教学中，教师要重视学生数学思维能力的发展，构建思考探究情境，实现学生解题质量的提升，同时关注学生数学思维品质的发展，做好引导和组织工作，并以一题多解为基础，进行科学合理的变式教学。

关键词： 初中数学;一题多解;数学思维;核心素养;情境;思维品质

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2022）05-0117-03

在数学教学中，教师要基于新课改的要求，以培养学生的数学核心素养为教学总目标，让学生通过数学学习形成一定的品质、能力和素养。在此过程中，学生与周围环境进行不断的交流、沟通，学会以数学的视角审视现实问题，思考现实问题，并解决现实问题。而一题多解就是这样一个可以从不同角度思考问题的教学情境，对于同一个数学问题，学生可以找到不同的解答方案，而不同解答方案会涉及更多的数学知识，这在无形中拓展了学生知识视野。另外，在比较多个解答方案的过程中，学生对数学问题本质的认知、对数学知识点之间联系的认知都会朝着更加纵深的方向发展，从而使数学学习达到融会贯通的状态。即学生通过一题多解，可以深度理解数学知识，并实现数学知识的有效应用。这就需要教师创设有利于锻炼学生数学思维能力的环境，不断提高学生的分析问题能力、解决问题能力，提高学生的数学核心素养。

一、一题多解在学生数学思维锻炼中的效能价值

基于核心素养的培养要求，教师在数学教学中要积极更新教学理念，优化教学方法，应用一题多解等教学策略不断提升学生的数学思维能力。一题多解在学生数学思维锻炼中的效能如下。（1）一题多解的题设情境可以进一步夯实学生的数学知识基础，提高学生的数学知识应用能力。数学基础知识是解题的前提，也是数学学习的基础，一题多解题设的嵌入，可以夯实学生的数学知识基础。（2）在一题多解的题设格局中，学生可以更好地理解基本模型，掌握解题方向，甚至可以使用建模思想去解决实际问题，从而不断提升解题能力。（3）一题多解的题设会呈现出多种不同的解法，而了解、比较不同解法的过程也是提升学生数学核心素养的过程。（4）一题多解题设的巧妙渗透可以让学生顺利完成初中数学和高中数学的过渡，即构建一个衔接机制，这不仅锻炼了学生的解题能力，发展了学生的数学素养，还为学生的深度学习奠定了基础。

二、巧用一题多解，锻炼学生数学思维的具体应用案例

1.关于几何图形类问题的一题多解题设

几何图形的一题多解以求解图形形状或者位置不确定性的题目为研究对象，此类题目需要学生清楚符合条件的图形有哪些可能性，对应的位置如何，在此基础上对图形不确定的形状或位置进行分类探讨。根据实际条件的探讨可实现学生空间想象能力、画图能力的锻炼，并由此进入问题解答环节。

例1：如圖1，在正方形ABCD中，点E、F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）。

对于上述题设，学生需要作点F关于CD的对称点F'，连接对应线段，此时就可以得出PE+PF=EF'，依照两点之间线段最短的定理，可以得出PE+PF的取值处于最小的状态。在这样的情况下连接FF'，与CD相交于点G，在此基础上过点E做EH垂直于FF'，设定实际的垂足为H，此时就可以知晓：无论是△EHF，还是△CFG，它们都是等腰直角三角形。在得出这样的判定结果之后，就可以得出EH=FH=FG=F'G=2，在基础上可以对EF'的取值进行界定，EF'===4，很明显是小于9。

根据正方形对称性的性质，可以得知正方形ABCD的每条边上都有一个点P，这个点P可以使PE+PF处于最小的状态。在此情况下，实现DE的连接，就可以计算出DE+DF=4，很明显大于9，也就是说CE+CF=12，大于9，即点P位于B、D的时候，是大于9的状态，如果点P位于A、C的状态，PE+PF也大于9。由此可以推断出对应的点数是8，因此，正确的答案就是8。

例2：如图2，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与直线AP交于点A、M，分别以点A、M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为 。

通过对上述题目的分析得出：因为∠PAD=30°，以点B为圆心、AB为半径作弧，与直线AP交于点A、M，所以∠BAM=60°，△BAM是等边三角形;又分别以点A、M为圆心，以AM为半径作弧，交点有两种情况：①交点E在直线AP下方，由题意，△AME是等边三角形，所以∠EAM=60°，∠DAE=30°+120°= 150°，又AD=AM=AE，所以∠ADE=∠AED=（180°- 150°）=15°;②交点E在直线AP上方时，点E与B重合，所以∠ADE=∠ADB=45°

2.关于字母参数型题型的一题多解题设

初中代数方程、函数的一些练习题目涉及字母参数问题，在遇到这样的问题时，学生要考虑全面，才能不断提升学习实效。

例3：已知y=ax2+bx+c（a≠0），二次函数图像的顶点是（2，-1），且与y轴的交点到原点的距离为3，则这个二次函数的解析式为 。

在这道题中，基于二次函数图像的顶点是（2，-1），不妨设这道题的二次函数解析式为y=a（x-2）2-1（a≠0）。考虑到该二次函数的图像与y轴的交点到原点的距离是3，∴交点坐标为（0，3）或（0，-3），把（0，3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=1，则这个二次函数的解析式为y=（x-2）2-1，把（0，-3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=-，则这个二次函数的解析式为y=-（x-2）2-1。

例4：已知一次函数的图像经过点（2，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为1，则一次函数的解析式为 。

基于一次函数y=kx+b（k≠0）的图像过点（2，0），则2k+b=0，b=-2k，那么一次函数为y=kx-2k。令x=0，则y=-2k。由条件得函数图像与两坐标轴围成的三角形面积为1，则×2 -2k =1，即 -2k =1，解得：k=±，那么一次函数的解析式为y=x-1或y=-x+1。

三、基于数学思维培养的一题多解教学原则

从上述四个题设案例可见，在实际的一题多解题设情境中，学生需要动用多方面的数学知识储备，并且懂得合理融入分类探讨思想，这样才能进入缜密的数学思维状态中。为此，教师需要注意以下教学原则。

1.重视发展学生的数学思维能力

在数学教学中，教师要将锻炼学生的数学思维能力作为重要的教学目标之一，而这不是一蹴而就的，需要长时间的数学教育教学渗透，并坚持循序渐进的原则，才能渐入佳境。一题多解的题设考验学生的数学思维能力，因此可以作为日常锻炼学生数学思维的重要载体。数学教师在运用一题多解题设的时候，要充分调研学情，确保各个层次的学生都能参与针对性的思维训练，从而让一题多解与数学思维能力发展实现积极融合。

2.实现解题质量的提升，构建思考探究情境

在传统数学教育教学中，有的教师习惯性地采取题海战术来锻炼学生的数学思维能力，让学生在刷题的过程中掌握数学概念，锻炼数学解题能力，发展数学思维品质。在此过程中，学生对题目越来越熟悉，看似解题能力在提升，实际上是在浪费时间，这种教学方法不利于发展学生的整体数学思维能力。对此，教师可以一题多解为提升学生数学思维能力和自主思考能力的切入点，让学生通过具体的解题过程锻炼数学思维，并进入深度解题状态中。另外，教师要引导学生在一题多解的过程中积极拓展解题思路，进行灵活思考，从而形成个性化的数学学习方法。学生从不同角度思考问题，生成不同的答案，并在一种解题方法的基础上寻找更多的解题方案，这样可以不断提高学生对相应题设的解决能力，提升对应数学知识的交互思考能力。从这个角度分析，一题多解题设不仅可以激发学生的数学思考，还可发挥学生的自主性，让学生在高质量的解题过程中获得数学学习成就感，继而以更大的热情进行数学学习。

3.关注数学思维品质，做好引导和组织工作

在一题多解题设情境中，教师要积极发挥引导者和组织者的作用，关注学生的数学思维品质发展。第一，在教育教学中，要引导学生独立思考，使其清楚题设条件，找到其中隐含的条件，实现自主学习能力的提升，而不是习惯性地以一种思路解决问题。尝试运用不同的方法解决问题才能够有效锻炼数学思维。第二，在激发学生数学思维的过程中，教师要注重培养学生的发散思维能力，让学生从不同的角度思考问题，并将已掌握的数学知识合理融入进去，实现新旧知识的有效衔接。第三，在一题多解的教育教学中，教师要注重发展学生的批判精神和能力。在设定一些专题的时候，可将错误的解题思维融入进去，引导学生反思为什么会出现这样错误的解题思路，让学生更好地审视自己的数学解题思维，进一步夯实对应的数学知识基础，进入理想的数学学习状态。

4.以一题多解为基础，进行合理的科学变式

基于最近发展区的理论，教师要将学生已掌握的知识与新的变量融合起来，让其进入深度学习状态，因此可将一题多解题设作为变式教学的重要路径之一，尊重学生的发展规律，在学生现有水平和潜在发展水平之间做好平衡。需要注意的是，在变式教学过程中，教师不要设计太难的问题，只有架构合理的跳板，才能使学生更好地锻炼自己的思维。教师要正确认识一题多解变式教学在提升数学学习质量中的效能，改变题海战术的教学模式，注重激发学生的思维潜能，确保知识点的有效衔接，从而让学生建立系统的知识框架。在数学复习的过程中，教师也可以设定一些基础性的题设，对学生曾解答的题目进行合理变式，改变对应的题设条件或者结论，让学生从不同的角度进行思考，由此发挥一题多解的题设在思维锻炼中的效能。

四、结语

综上所述，基于新课改的要求，教师要将教育教学的焦点放在激发学生的自主性、发展学生的思维能力上，切实将数学核心素养的培育与数学教育教學内容结合起来。在数学教学中，教师可将一题多解的题设情境作为培养学生思维能力、提升学生思维品质的重要方式，对此，要树立精细化的解题过程管理意识，充分发挥引导效能和组织效能。这就要求教师不断反思一题多解的题设密码，总结教学经验，以此构建理想的数学教学格局和环境，不断提升学生的数学学科核心素养。

参考文献：

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[4]柴丽佳.数学思想在初中数学函数教学中的应用研究[J].数学学习与研究，2020（22）.

Skillfully Using Multiple Solutions to One Problem and Exercise Students' Mathematical Thinking

Ma Guisheng

（Jiaoyang Middle School， Shanghang County， Fujian Province， Shanghang 364204， China）

Abstract： Based on the requirements of the new curriculum reform， the focus of mathematics teaching is to improve students' core competence. In this regard， teachers should pay attention to stimulate students' subjective initiative and create an environment to exercise students' mathematical thinking ability. Taking the teaching of multiple solutions to one problem of geometry problems and one problem of letter parameter problems type as examples， this paper explores the specific strategies of skillfully using multiple solutions to one problem and training students' mathematical thinking. In specific teaching， teachers should pay attention to the development of students' mathematical thinking ability， build thinking and exploration situations， improve students' problem-solving quality， pay attention to the development of students' mathematical thinking quality， do a good job in guidance and organization， and carry out and scientific reasonable variant teaching based on multiple solutions to one problem.

Key words： junior middle school mathematics; multiple solutions to one problem; mathematical thinking; core competence; situation; thinking quality