实交错代数上slice正则函数的逼近定理

陈英伟， 陈灿虎, 张宝兴

(河北经贸大学 数学与统计学学院，河北 石家庄 050061)

0 引 言

交错代数可看作非交换代数结构中四元数、八元数和Clifford数等的推广，具有2个重要性质.对a,x,y∈,由交错性易导出如下Moufang等式[1]:

a(x(ay))=(axa)y, ((xa)y)a=x(aya), (ax)(ya)=a(xy)a.

另一个重要性质是Artin定理[1],此定理表明的任意2个元生成的子代数都是可交换的.

在复分析中，Runge[2]在1885年首次给出如下定理.

定理A令K是复平面C中的一个紧子集，设f是定义在K的一个开集上的全纯函数.若E为CK中的有界连通分支中至少含有一个复数的集合，则存在一列有理函数(rn)n∈N，且其极点都在E中，此函数列在K上一致收敛到f.

复平面上另一个重要定理为Carleman逼近定理[3].

定理B令函数f:R→C和h:R→(0,+∞)均为R上的连续函数，那么存在一个整函数G:R→C使得对所有的x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

Runge逼近定理已推广到四元数[4-5],本文中，笔者的一个目的是得出更广泛的实交错代数情形下的slice正则函数，另一个目的是在实交错代数的slice正则函数的结构下研究Caleman型逼近定理.Caleman型定理表明，任何定义于R上的连续函数可由在R上的slice正则整函数任意逼近.

1 预备知识

先给出文中有关slice函数和slice正则函数的一些基本定义和结论[6-8].

反对合x→xc是由到的实线性映射,满足下列性质：

(xc)c=x, ∀x∈,

(xy)c=ycxc, ∀x,y∈,

xc=x, ∀x∈R.

t(x)∶=x+xc∈,

x的(平方)范数为

n(x)∶=xxc∈.

定义1交错代数中的二次锥面Q是由下式给出的实锥面

Q∶=R∪{x∈|t(x)∈R,n(x)∈R,4n(x)>t(x)2}.

假设二次锥面Q≠R等价地，即≠∅.注意到对任意I≠±J的I,J∈,有Q=UJ∈SCJ和CI∩CJ=R.对任意x∈QR,则可记x=α+βJ,其中α，β∈R,且J∈.因此，这时定义实部和虚部是有意义的.

Ren等[9]首次引入了正则二次锥面,它一般比二次锥面小，但在其上的slice正则函数具有一些非常好的性质.

引理1[6]令S是的纯虚球面，M是的导出S的子集,则存在上的范数‖·‖,使得对x∈M,有

由于

S∶={x∈|‖x‖=1}

引理2[10]若令

C

则对任意x,y∈,有

‖xy‖≤C‖x‖‖y‖,

(1)

并且，对任意x,y∈,其中x∈Q或者y∈Q,有

c‖x‖‖y‖≤‖xy‖.

此引理可用来估计有理函数逼近中slice正则函数的收敛性.

给定D为C中的开集，在复共轭下不变.令

其中x=α+iβ∈D,[x]=α+β.

易知ΩD是Q的相对开子集，则此集合ΩD是slice函数定义的自然定义域，由于在-1平方根运算下保持不变，其被称为的循环域.

定义3定义在一个开集D⊆C上且在复共轭下保持不变的函数F:D→C被称为stem函数，如果F=F1+iF2中-值F1,F2满足偶-奇对，即

每一个stem函数F=D→AC可通过

f(x)∶=F1(z)+JF2(z),∀x∈ΩD∩CJ

诱导出一个(左)slice函数

如果F1和F2是R实值的，则称slice函数f保slice的.若F=F1+iF2≠0,那么其逆为

引理3(表示公式)[7]令f是轴对称slice域Ω⊆Q上的正则函数，I,J∈,则对所有y=u+vI∈Ω,下式成立.

α(u,v)+Iβ(u,v).

其中α，β仅依赖于u,v∈R,且u+vJ∈ΩJ,但不依赖于J∈.

将ΩD上的slice正则函数的函数空间记为

轴对称slice域可作为slice正则函数的天然定义域[7-8].

记

引理4(分裂引理) 令f是定义在对称slice域ΩD⊆Q上的一个正则函数.令J∈或S,并存在中与J可交换的分裂基

使得‖Kj‖=1对每一个j∈{1,…,h}成立,则存在全纯函数Fj:ΩJ→CJ,j=1,…,h,

2 Runge定理

在下文中，令Zf表示slice函数f的零点集合.

引理5设F:D⊆C→A是一个stem函数，且满足FcF是一个保slice的函数，并在D的一个紧子集上不为0.令ΩD={x=u+Jv|z=u+iv∈D,J∈是一个slice正则函数,则f的slice正则逆为定义在上的函数

证易知stem函数((FcF)-1Fc)(z)=α(z)+iβ(z)中的α,β满足Cauchy-Riemann条件，这可从偶-奇对的F,Fc得到.另外，有

((FcF)-1Fc)F=(FcF)-1(FcF)=1.

最后，由FcF保slice知，FcF是一个实的stem函数，故

有

引理6令Ω∶=ΩD表示Q中一个轴对称slice域.一个slice正则函数f:Ω→A是有理的当且仅当对任意J∈和中满足‖Kj‖=1的分裂基{K0=1，J，K1，JK1,…，Kh,JKh},存在h+1个有理函数Rj:ΩJ→CJ使得，对任意u+Jv∈ΩJ∶=Ω∩CJ,有

(2)

fJ(u+Jv)=(AcA)-1AcB(u+Jv)=

(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1(αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ))(u+Jv).

选择与J可交换的的一个分裂基{1，J,K1，JK1，…，Kh,JKh}.注意多项式αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ)可写成

其中多项式Pj:ΩJ→CJ.

由于函数(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1是保slice的，其系数属于CJ,直接可得

Rj(u+Jv)=(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1Pj(u+Jv).

易知Rj：ΩJ→CJ是一个有理函数.

反之，假设对于一个给定的J∈,由分裂引理知，限制在CJ上的fJ可记为(2).每一个有理函数Rj：ΩJ→CJ均可写成

(Qc(y)Q(y))-1Qc(y)P(y).

由表达式可知函数f在Ω上是一个有理函数，可表示为

α(u,v)+Jxβ(u,v),x=u+Jxv,

接下来，说明f的形式为f=a-1b.每一个有理函数Rj:ΩJ→CJ均可记为

其中Pj,Qj为多项式.于是有

则有

类似可得

因此，

Q的系数属于的子代数CJ,QcQ为不等于0的实函数.

定义6令f是Q给出一个循环开子集Ω上的slice正则函数.称点y∈Q为f的奇异点，若存在R>0使得∑(y,0,R)⊆Ω,这时f可有一个洛朗展开

对f来说，点y被称为极点，若存在m≥0使得a-k=0对所有k>m成立.

引理7[10]交错代数中一个有理函数的奇异点是形如u+v的孤立球面.

定理1令K是中轴对称的紧集，记E为中每一个连通分支中有一个点的集合,则对一个轴对称开集Ω⊃K,每一个f∈SR(Ω),对任意ε>0,都存在一个球面上的有理函数r,其极点在集合E中，且对z∈K,有

‖f(z)-r(z)‖<ε.

证首先考虑函数f在复平面CJ上的限制.由分裂引理知，对每一个J∈S(的一个纯虚球面)，存在的一组分裂基K1,…,Kh∈S,满足‖Kj‖=1,及存在全纯函数Fj:ΩJ→CJ,j=1,…，h使得

{K0∶=1，K1，…,Kh，J，JK1，…，JKh}

根据复平面上的Runge定理[11]知，有h+1个极点在E⊂CJ中的有理函数Rj(u+Jv),使得

(3)

由于Ω⊂CJ关于实轴对称，则表示公式可将r(u+Jv)延拓到整个Ω,且

现在考虑‖f(x)-r(x)‖.由表示公式，有

‖f(x)-r(x)‖

根据分裂引理和引理2中的(1),可得

‖f(x)-r(x)‖

因此，由(3)可得

‖f(x)-r(x)‖≤ε.

‖f(x)-rn(x)‖

如果K是Ω中的轴对称紧集，由假设可保证存在N∈N使得对所有n≥N,有K⊂Kn,则

‖f(x)-rn(x)‖

3 Carleman定理

本节考虑交错代数中的Carleman型逼近定理.用ΩC表示一个可交换集，其可记为

其中任意x=a+iβ∈C,[x]=α+β.易知ΩC∈Q.

若函数f在整个ΩC中是slice正则的，则称其为一个整函数.

每一个slice正则整函数有如下的幂级展开

此展开在ΩC中处处收敛，并且在ΩC中任一紧子集上一致收敛.

经计算可知，由于收敛半径是无穷的，故

Carleman型定理揭示了任何定义在R上-值的连续函数，都在实轴R上可由slice正则整函数一致逼近，且具有任意的逼近阶.

定理4令f:R→和h:R→(0,+∞)是R上的连续函数,则存在全纯函数G:ΩC→,对所有x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

定理4需要一些辅助引理并参考了文献[12]中复情形的做法.

引理8设函数f:R→在R上连续，则存在一个无零点的整函数g：ΩC→,满足对所有x∈R,有g(x)∈R和g(x)>‖f‖.

证记Cn=max{‖f(x)‖| |x|≤n+1,x∈R},n∈N.

显然，对所有x∈R,均有h(x)≥0,则对于|x|<1,有

h(x)≥C0≥‖f(x)‖.

而对1≤n≤|x|

即对所有的x∈R,有h(x)>‖f(x)‖.

最后，令g(w)=eh(w)来得到所需的整函数.由于ew,h(w)都是保slice的，故其2个slice正则函数的部分也是slice正则的.

引理9令[a,b]是R中的区间，并且slice函数f:[a,b]→是一个连续函数.对任k∈N,令

则对任意ε>0,有一致收敛

证考虑函数f在复平面CJ上的限制.令J∈,且

{K0∶=1，J，K1，JK1，…，Kh，JKh}

f的连续性蕴含了Fj为实变量x的连续函数.

该结论对复值函数成立[12],对每一个j,通过在被积函数中写Fj(t)而不是f(t),如(4)定义Fj，k(x),则对每一个ε>0,有

引理10设f:R→在R上连续，则对每一个n∈Z,均存在一个连续函数fn:R→,其支撑在[-1,1]上，满足对所有x∈R,有

证类似引理9的证明，可给出函数

则函数Fj,n(x)可构造为

引理11设slice函数f:R→在R上连续，在[-1,1]上有紧支撑.记

T={w∈ΩC:|Re(w)|>3,|Re(w)|>2‖Im(w)‖}.

对任意ε>0,存在整函数F:ΩC→,使得对所有x∈R,有‖f(x)-F(x)‖<ε，并且对w∈T,有‖F(w)‖<ε.

证对任意k∈N,令

易知，函数e-k2(w-t)2是slice正则的，并且当对其右乘f(t),其仍然保slice正则的，这是由于slice正则函数可组成上的右向量空间，并且在[-1,1]上有紧支撑，故f也一样.因此fk(w)可被写为幂级数，并对所有k∈N,其是slice正则整函数.

则对所有的w∈T,有

‖fk(w)‖

引理12设slice函数f:R→在R上连续，则存在整函数F:ΩC→,使得对所有x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖< 1.

证对于n∈Z,取引理10中的一个fn,由引理11,对每一个fn,都有一个整函数Fn,满足

‖fn(x)-Fn(x)‖< 2-|n|-2,‖Fn(x)‖<2-|n|.

令N∈N,那么选择w使得‖w‖≤N且|n|>3N+3,则有

‖Re(w-n)‖≥|n|-‖Re(w)‖>2N+3>3,

‖Im(w-n)‖=‖Im(w)‖

一致收敛到某个函数F,就像对所有J∈Q,其在任意复平面CJ上的限制一样.故对满足‖w‖≤N的w,有

因此，F是一个整函数.另外，对任意x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖

定理4的证明由引理8,存在无零点的整函数h:ΩC→,其幂级数展开中所有的系数均为实数，并满足对所有x∈R,有引理12意味着存在一个整函数F:ΩC→,使得

‖h(x)f(x)-F(x)‖A<1,x∈R.

函数h(x)是实值的，故

选择G(w)=h(w)-*F(w),得证.

在R中的紧子区间上使用多项式一致逼近的Weierstrass逼近定理很容易从Carleman定理得到.

推论1设[a,b]是R上任意紧子区间，f:[a,b]→是连续的,则对任意ε>0,存在多项式P:[a,b]→满足

‖f(x)-P(x)‖<ε, ∀x∈[a,b].

即

注 由于四元数及八元数为实交错代数中的一种特殊情况，在四元数及八元数情形，可以得到类似的Runge和Carleman型逼近定理.