“购房中的数学问题”及“九连环”探究性学习报告

四川省天府新区元音中学(610218) 冯利卿

1 设计背景

购房中的数学问题和九连环是《普通高中课程标准实验教科书必修五》数列这一章后的研究性课题.生活中人们经常遇到的像存款利息、购房贷款等实际问题,还有很多有趣的游戏等都蕴含了丰富的数学思想.学生们往往对生活中的数学问题很感兴趣,希望从熟悉的事物中理解,体会数学.而高中数学课程又倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等创新型学习数学的方式,这些方式有助于发挥学生的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.基于此,在老师的鼓励下,班级分小组对“购房中的数学问题”和”九连环“进行了合作探究学习.

2 设计目的

通过联系实际,从生活中问题出发,充分拓展数列的学习内容,以促进学生对数列的理解,培养学生对学习数列的兴趣.提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力.

通过两个课题的研究,提高学生的探索应用能力、理解能力和实践能力的新方法,全面提高学生的综合素质.

3 教学理念和策略

在教学中重视教学情景和小组合作学习环境的创设,体现“以学生为主体,教师为主导”的教学原则.

本节课通过对两个问题循序渐进的进行研究,使学生充分体会数列在分期付款和解九连环中的应用.在整个教学过程中,学生积极发言,交流成果.老师在整个过程中则做到“导”和“引”.

4 实践方法

资料收集法、实例分析法、学生探究教师引导法

5 探究内容

在探究数列性质的同时,我们要善于将数列与生活联系在一起,将数列生活化,既加深了我们对数列的了解,又为生活提供了方便.而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学所要求必须掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识.下面以两个问题来呈现数学在生活中的应用.

5.1 购房中的数学问题

某地一位居民为了改善家庭的住房条件,决定在2005年重新购房.某日,他来到了一个房屋交易市场,面对着房地厂商林林总总的宣传广告,是应该买商品房呢还是应该买二手房呢? 他一时拿不定主意.表格中是他的家庭状况以及可供选择的方案.

购房还需要贷款.这位居民选择了一家银行申请购房贷款.该银行的贷款评估员根据表格中的信息,向他提供了下列信息和建议:

申请商业贷款,贷款期限为15年比较合适,年利率为5.04%.购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%,贷款额应不高于实际购房总额的80%.还款方式为等额本金还款,如果按季还款,每季还款额可以分成本金部分和利息部分,其计算公式分别为本金部分=贷款部分÷贷款期季数,利息部分=(贷款本金-已归还贷款本金累计额)×季利率.

家庭经济状况:家庭每月总收入3000 元,也就是年收入3.6 万元.现有存款6 万元,但是必须留2 万元—3 万元以备急用.

预选方案:1.买商品房:一套面积为80m2的住宅,每平方米售价为1500 元;2.买二手房:一套面积为110m2左右的二手房,售价为14.2 万元,要求首付4 万元.

准备工作:了解商品房二手房的概念,了解贷款购房的一般流程,以及购房贷款,分期付款的相关背景.

提出问题:结合数列等相关数学知识,根据以上购房贷款方式,判断方案1、2 哪个是他的最佳选择?

课堂任务:

1、将前期布置的教材中“买商品房和买二手房的比较”探究成果进行交流.

2、在此基础上,进一步对两个实际问题“等额本金还款和等额本息还款的比较”“按季还款和按月还款的比较”进行探究.

学生的成果展示与交流:

方案1:如果首付3.6 万(约为住房总价值的30%),贷款8.4 万,季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例.

每季等额归还本金:84000÷(15×4)=1400(元),第一个季度利息:84000×1.26%=1058.4(元),则第一个季度还款额为1400+1058.4 = 2458.4(元),…,第60 个季度利息:(84000-14000×59)×1.26% = 17.64(元),则第60 个季度(最后一期)的还款额为1400+17.64 = 1417.64(元),可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为17.64元,其和为:= 32281.2(元),15年中每个季度的还款额也成等差数列,公差为17.64 元,其和为:

方案2:因为首付4 万,所以需要贷款10.2 万,季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例.

每季等额归还本金:102000÷(15×4) = 1700(元),第一个季度利息:102000×1.26% = 1285.2(元),则第一个季度还款额为:1700+1285.2=2985.2(元)……,第60 个季度利息:(102000-1700×59)×1.26% = 21.42(元),则第60个季度(最后一期)的还款额为1700+21.42 = 1721.42(元),可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为21.42 元,其和为:= 39198.6(元),15年中每个季度的还款额也成等差数列,公差为21.42 元,其和为:=141198.6(元).

探究结果:建议这个居民采用方案1,理由如下:

(1)因为这个居民每月的家庭总收入为3000 元,那么每个月用于偿还购房贷款的金额为600～900 元较为合适,每个季度为1800～2700 元.如果采用方案1,满足上述条件.如果采用方案2,由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a1= 2985.2,公差为d= 21.42 的等差数列.若an= 2985.2+21.42(n-1)＞2700,则n ＜15.也就是说,当n ＜15(个季度)时,每个季度的还款额大于2700 元,偿还银行的钱占这个家庭收入的30%以上,显然给这个家庭生活造成了较大的负担.

(2)以贷款15年为例,方案2 比方案1 需要多支付利息39198.6-32281.2=6917.4(元).

(3)方案2 中的住房是旧房,使用年限较短.

进一步地:

按月还款和按季还款的比较:

类比按季还款,学生可以很容易构建出按月还款的数学模型.

等额本息还款和等额本金还款比较:

学生交流,教师引导,并在黑板呈现等额本息还款的具体方法并概括两种方法的优缺点.

结论:按月分期付款比按季分期付款更优;等额本金付款比等额本息付款更优.(相对)

设计意图:

通过实际问题的探究,激发了学生合作的积极性,点燃了学生思维的火花.通过探究,学会在多种分期付款的方式中,能够做出最佳选择,从而使学生感受到成功的喜悦.

归纳总结:

1、了解购房问题中的贷款政策,利率,等额本金,等额本息等背景知识.

2、能把等额本金和等额本息问题转化为等差数列和等比数列的模型.

3、数学思想,列方程解未知数

(附问题一活动过程图片展示)

5.2 九连环问题

九连环是中国的一种古老智力游戏,它环环相扣,趣味无穷.玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架上解下或者套上.但无论是解下还是套上圆环,都要遵循一定的规则.

准备工作:准备九连环数个,熟悉九连环的历史背景,基本结构和原理.

提出问题:

1、归纳解环规则(课前进行学情调查,发现班级里只有少数学生精通九连环,大部分学生对其知之甚少,因此让学生在课前进行小组合作,探究解环规则,在课内交流)

a.要想下/上第n个环需要满足什么条件?

b.要想下/上前n个环需要满足什么条件?

2、结合数列知识,建立模型,并计算下/上九连环至少需要移动圆环多少次?

学生的成果展示与交流:

小组中分工明确,选代表在黑板展示成果.其中一位讲解九连环的基本构造,解九连环的数学原理,同时演示解九连环的整个过程和细节.

另一个同学在黑板上推导解九连环所蕴含的数列递推关系,同时得出结果.

最后小组之间再互相探讨研究,合作学习,比赛解九连环.

回顾反思:

回顾解决问题运用的数学思想:化归、递归、类比、归纳

(附问题二活动过程图片展示)

总结阶段:

把实际问题转化为数列的模型是解决以上两个问题的关键.

首先学生将实际问题数学化,其次教师引导学生在实践探究过程中体会数学思想以及模型的建立.化抽象为形象,将数学课堂提升到一个新的高度.

6 探究结果

探究性学习使学生们对数列的内容进行深入了解,提高了学生对数学的趣味.整个课堂氛围活跃,学生们积极投入,互相学习,理论与实践相结合的过程提高了他们对数学学习的热情,充分享受其中.将数列应用,推及到日常的生活中,留给他们独立思考的时间,不仅提高了课堂质量,同时更好的培养学生运用数学知识解决实际问题的学习素养.

7 学生体会与收获

(1)这次活动让学生深切感受到数学知识源于生活,又为实际生活服务的意义.数学的运用广泛自如,生活中处处皆数学,日常生活中蕴含的许多新奇的数学问题,都可以用我们课本的知识解决.

(2)探究性活动让学生学会更好的领悟数学的价值,知道数学不仅限于课堂,要懂得用数学眼光,数字思维,数学方法观察生活,认识世界.在生活中多思考运用,不断探索和发现数学规律.

(3)探究活动让学生从感兴趣的项目入手,合作探究,利用信息,借助工具,深入调查,多方面研究,最后得出研究结果.这个活动加强了学生的合作精神,也使得学生能真正沉静下来体会数学感悟真理.

8 教学反思

在数列这一章节学习时,要求学生对生活中购房的问题以及九连环中蕴涵的数学问题进行研究和探讨,学生通过搜集统计数据,动手实践,体验发现和构建数学的过程,建立与其相应的数学模型,再通过研究数列的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这次活动中,同学们不仅了解到利用数列知识可以解决生活中的实际问题,也在研究的过程中学会了小组合作和资料收集、筛选等多种方法,体会到了研究的钻研精神和学习数学的重要性.所以探究性学习理念对于数学的学习有着深远的意义,当然能探索出更多更好的数学教学方法于教师而言依然任重道远,着眼于把学生培养成一个积极思考,勇于探索的问题研究者和问题解决者,我们一直在路上.