“入乎其内”与“出乎其外”——再谈“平面的基本性质”教材研读与教学策略

尤善培

(江苏省扬州市邗江区教师发展中心，225000)

王国维在《人间词话》中有一段文字:“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,故能写之,出乎其外,故能观之.入乎其内,故有生气,出乎其外,故有高致.”意思可以理解为:诗人对宇宙人生,既要进得去,又要出得来.进得去,才有内容可写;出得来,才能对之有思考和提炼.进得去,写出来的诗才会有生命力;出得来,才能有超脱高雅的情致.同样的道理,在数学教学中,解读教材必须入乎其内,教学设计方可出乎其外.

以“平面的基本性质”的教学安排为例.传统的立体几何教材将“平面的基本性质”安排在第一单元的第一课,也就是立体几何的起始课,而现行的教材则安排在第二单元的第一课.教材安排上的变化,用意何在?为什么这样安排?首先需要深度解读教材,深刻领会其内涵,才能有准确的目标定位,进而才有引人入胜的教学设计.

一、研读教材要“入乎其内”

1.重温传统教材

(1)开门见山

传统教材开宗明义:“常见的桌面、黑板面、平静的水面以及纸板等,都给我们以平面的形象,几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的.但是,几何里的平面是无限延展的”,这里直观地描述了平面.

(2)提出性质

接着不兜圈子,进一步指出:“在生产与生活中,人们经过长期的观察与实践,总结出了平面的三个基本性质,我们把它们当作公理,作为进一步推理的基础”.这是从生活情境中抽象出数学概念的例子.

(3)揭示本质

这是立体几何的第一课,也可叫做立体几何的起始课.讲解起始课,就要把这一学科的内容作一大概的介绍,包括立体几何研究什么,背景是什么,有什么作用,怎样研究等等.这样可以让学生一开始就对这门学科有一个初步的了解,引起学生的“悬念”,同时初步了解知识的结构,今后研究也有一些底,为以后的学习打下思想基础.

2.再谈《课程标准》

与以往高中数学课程中的立体几何内容相比,《标准》中的立体几何内容的变化主要表现在几何定位、几何内容处理方式以及几何内容分层的设计等方面.

(1)立体几何的目标定位仍然在于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象能力和几何直觉的能力、逻辑推理能力.

(2)立体几何的教学内容,在处理方式上与以往“点、线、面、体”即从局部到整体展开不同,而是按照从整体到局部的方式展开教学内容.

(3)立体几何的教学方式,突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等研究空间几何图形的过程,涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化的思想、化归思想等,涉及的一般科学方法主要有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等.

3.研读现行教材

(1)第一单元,教材借助多面体模型,从整体观察入手,运用运动变化的观点,通过观察和操作,引导学生认识空间简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征,以此作为发展空间想象能力的基本模型.

(2)第二单元,教材借助长方体模型,并以长方体为主线,通过归纳和分析,使学生在直观感知的基础上认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系,并以此作为思辩论证的基础.

(3)第三单元,“柱、锥、台球的表面积和体积”,教材没有像以往那样重在介绍公式的推导过程,而是侧重于介绍公式推导的思想方法.

由此可见,在立体几何的教学中,教师要采用“点、线、面、体”的立体化教学方法.教师要胸有全局,根据教学的目标任务、教学的内容、训练的项目作出科学的安排,这就是“面”.而每一个小概念就是一个“点”,教师上课要精心设计贯串的线索、问题的构思、能力的培养,都要丝丝入扣,整个教学应该是立体的,应该把思想的启迪、素养的渗透、情感的熏陶、知识的传授融为一体,把“知识、方法、情感和态度”熔为一炉.

二、设计教学要“出乎其外”

1.“深入”才能“浅出”

深入钻研教材,深刻理解教材,准确定位教学目标是“设计”之本.惟有准确领会教材的编写意图,才能更深入地开发教学资源,创造性地用活、用好教材.那么如何将自己的理解和感悟准确并且巧妙地融入教学设计之中,从而让学生理解知识的结构,建构知识的框架,学会学习,真正实现“浅出”呢?其中,非常重要的就是对“过程与方法”和“情感态度”的精准定位,对学生思维水平的把握和学情的有效分析.鉴于此,我结合马玲老师的课例，提出自己的思考和教学设计策略.

2.“平面的基本性质”的教学设计.

(1)定位:这是一节数学概念的建构课.

(2)目的:建构平面的概念.

(3)过程:

(i)创设情境,发现新知

问题1在上一个单元,我们已经对简单的几何体有了整体的、直观的认识,简单的几何体是由空间的点、线、面所构成的.从今天开始,我们将对点、线、面的这些元素关系作进一步的讨论.

评析这个问题,扮演了“先行组织者”的角色.学生虽然不知道今天研究的具体内容,也不知道到底应该怎样研究,但他们根据先前积累的数学活动经验,已经预感到今天应该研究什么.

问题2你知道什么是平面?在你的心目中,平面给你以什么形象?

评析这个初始问题合情合理,和问题1不同,“一石激起千层浪”,学生可能跃跃欲试地开始着手研究,但可能会感到无从下手,说也说不清楚,“糊里又糊涂”.

(ii)问题导向,探索新知

问题3在空间中,点、直线、平面有哪些位置关系?

评析正当学生研究无法深入的时候,这个问题真是“雪中送炭”,起到导向、引领的作用,帮助学生找到研究“平面”的方向和突破口.

问题4直线与平面有哪些位置关系?

评析在这里,“点与平面”的位置关系是一个十分简单的问题,“点与直线、直线与直线”的位置关系是一个已经研究过的问题.这时“直线与平面”的位置关系问题将成为学生进一步讨论和交流的平台,当学生着手解决它的时候,建构“平面”的活动就正式开始了.于是,学生开始了操作、观察、思考等活动,试图有所发现,有所收获.

操作活动之前,应有问题引领,学生为解决问题而操作、为思维而操作,教师则为思维而导、为思维而教.

(iii)深度思考,操作发现

① 直线与直线的交点,这是回忆旧知,起类比的作用.

② 直线与平面的位置关系,这是操作活动,这里得出“没有公共点,只有一个公共点,有两个公共点”三种情况.

评析这时又迫使学生反思;迫使他们深入思考下去;迫使他们认真思考“直线与平面有两个公共点”的含义.

进一步研究,就会发现:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,这就是公理1的内容.

进一步研究公理1,我们发现平面的特征:平面是“无限大”的,平面是“平”的,平面是“没有厚度”的;直线是“无限长”的,直线是“直”的,直线是“没有粗细”的;点是“没有大小”的.

类似地研究公理2和公理3.

(iv)分析归纳,自主定义

原型—抽象—数学化—数学对象.

(4)评析:

(i)问题的提出

数学中的绝大多数概念,总是可以用下定义的方法来约束或界定它的意义的.如“平面内永不相交的两条直线称为平行线”.这里,“平面”、“直线”就是定义平行线的基本概念.显然,定义的实质就是用已知概念来解释新的概念.这样,追根寻源,层层上溯,总会有一些概念是无法用其它概念来表述.在这里,“平面”就是这样一个概念,怎么办?

(ii)采取的对策

这里,我们就通过认定的一组公理,来揭示原始概念所具有的性质,从而来约定原始概念的意义.这就是公理化方法.方法中暴露过程,过程中凸显思想,思想中揭示本质.

(iii)平面的概念

平面的基本性质就是这样一组公理.一方面刻划了平面的基本性质,另一方面又约定了平面的意义.

(iv)平面的定义

一个元素只要满足三个公理的条件,我们就称它为“平面”.体会到平面概念的产生是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,很具有人文情趣.

(v)其它例子

自然数集的定义(数产生于数).

在数集中:

① 存在一个初始数,记为1,是自然数;

② 每一个自然数a,都有一个确定的后继数a′也是自然数,且a′=a+1;

③ 如果b，c都是a的后继数,则b=c;

④ 1不是任何自然数的后继数;

⑤ 对任何自然数的命题,如果证明了它对1是真的,又假定它对自然数n真,那么可以证明它对n′也真的.

这就是著名的皮亚诺公理.

3.“悟道”方能“超越”

这里“悟道”指的是要继承传统经验,理性认知经验,吸收新课程理念,领会教材意图,把握学生基础,选择合适方法.只有多方面结合起来,才能实现自我超越,才能做到便教利学.

(1)注重过程

立体几何教学的重点是帮助学生逐步形成空间想象能力,而要达到这一目的,必须让学生参与这些知识的发生、发展和应用的全过程,与以往教材与教学相比，淡化形式,注重过程,突出新的思想与理念.这样,学生就感到平面的几个性质是看得见、摸得着的,而且通过自己的实践和体验,确认空间图形的一些主要的结论,并运用这些思想、方法、结论解决一些问题.

(2)适度抽象

强调本质,注意适度形式化是一个重要的理念.学会适度抽象是本节课教学的一个基本要求,但更重要的是对数学本质的认识,是生动活泼的数学思维活动,要努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理.通过平面概念建构的例子,通过学生的自主探索活动过程,体会蕴涵在其中的思想方法,这就是本设计出乎其外的地方.