指向学科核心素养的小学数学命题探索——基于PISA2021 数学素养测评框架

林莺

（福州教育学院附属第四小学，福建 福州 350008）

核心素养视角下的教育，其关键点指向学科核心素养的评价。随着教育理论研究的不断发展，当前的教育在如何更加科学规范地进行小学数学教学的评价上，已经越来越体现出科学性与规范性，开发出了更加规范的评价框架。试题能否发挥它应有的作用，很大程度上取决于科学设计。一种可行的思路是从内容要素和水平层次两个维度出发，考查学生的相应水平。借鉴PISA2021 数学素养测评框架，确定小学生的数学素养评价要素和水平层次，科学地设计试题，有助于学生把握学习趋势，免于陷入题海战术，也能帮助教师改进教学，引领学生提升数学素养。本文以小学数学六年级试题为例，分析其在培养学生数学素养水平方面所起的作用。

一、数学素养新内涵

（一）PISA2021 对数学素养的定义

自2000 年世界经济合作与发展组织（OECD）发起的PISA 素养测试，由于命题灵活开放，评价科学客观，深受业内人士的推崇，已日渐成为一项具有国际权威性的学生学习能力测试。2018 年，OECD 组织对PISA2012 数学素养测试框架进行修订和调整，2019 年5 月发布PISA2021 数学素养测评框架，并在数学素养定义、内涵以及测评内容方面做出重大调整。

PISA2021 测评框架对数学素养的定义是：一个人在不同真实世界情境下能够进行数学推理，并能够表示、使用和解释数学来解决问题的能力。包含使用数学概念、数学过程、数学事实以及数学工具进行描述、解释、预测未来趋势的能力。数学素养有助于个体作为一个21 世纪的建设性公民，在关心社会、善于思考的同时，了解数学在世界中所起的作用，并能够有根据地做出数学判断和决定。［1］

与PISA2012 相比，第一，PISA2021 数学素养定义增加了“数学推理”一词，并且将“数学推理”放在核心位置；第二，将“不同情境”调整为“不同真实世界情境”，并添加“解决问题”这一目的指向，明确了数学素养旨在反映一个人在真实世界情境中解决问题时所运用的能力；［1］第三，出现“21 世纪”一词，折射出PISA2021 数学素养将反映21 世纪对公民的能力要求。

（二）PISA2021 数学素养测评框架

较之2012 版旧模型可以发现，第一，新框架模型（图1）［1］呈圆形；第二，呈现“建模过程”，以“数学推理”为核心；第三，“领域内容”与“建模过程”合为一体，环环相扣。第四，增加了21 世纪8 大技能。

图1 PISA2021 数学素养测评框架

“在教育教学实践中落实学科核心素养的难点和焦点在于发展核心素养评价。”［2］分析PISA2021 数学素养测评框架，为思考教育评价过程如何实践从“知识”向“素养”的考查转变，提供了不少启示。

二、数学素养测评新启发

基于国内数学素养研究成果，借鉴PISA2021 数学素养，在迎接21 世纪的挑战中，尝试界定本土化的指向小学数学核心素养的测评内涵。

（一）明确小学数学素养测评内容要素

PISA2021 数学素养测评框架面向真实世界情境中的挑战，从内容维度、过程维度和情境维度编制试题，其中的内容维度包括空间和图形、变化和关系、不确定性和数据、数量四个部分；过程维度包括表述、应用和诠释三个环节，核心为推理；情境维度包括个人的、职业的、社会的和科学的四个方面；而需要测量的数学素养表现为21 世纪8 大技能（图1）。［1］

对照PISA2021 素养测试框架要求，借鉴我国高中新课标学生数学核心素养，制定出适合学生实际的本土化的“小学数学学科核心素养评价框架”。在测评内容维度上，以四大领域内容为主。在命题指向上，主要考查学生“能否从各种具体的现实世界中抽象出数学概念、数学思想、数学方法以及数学结果；能否给出相应的具体实例，包括生活中的例子或数学中的知识”［3］；能否根据知识内在的逻辑关系进行梳理、推理，形成整体理解，让知识结构化。强调数学建模（问题解决）和批判性思维、系统性思维，自我探索与评价、实践创新等高阶思维能力的评价，以及对情感态度价值观、自我引导与管理、驱动力以及毅力等非认知因素的评价，并期望以评价来促进小学生在解决问题时，能主动运用数学的不同表征，用不同的推理方法，针对不同的问题灵活选择合适的数学语言来描述问题，最终获得解决问题的方法。

（二）界定试题水平等级划分

在需要测量的数学素养水平划分上，南京师范大学喻平教授认为，既然数学核心素养产生于知识，那么评价的水平划分就可以从知识的角度切入，将知识学习分为知识理解、知识迁移和知识创新三种形态。他认为，由知识学习所产生的3 种能力水平即为核心素养的3 种水平——知识理解（水平1）、知识迁移（水平2）和知识创新（水平3）。［4］笔者借鉴喻平教授的知识水平理论，制定出本土化的小学数学命题框架。（表1）

表1 小学数学学科核心素养评价框架

试题能否发挥其应有的作用，发挥多大的作用，离不开科学有效的设计。以下从内容要素和水平层次两个维度出发，进行试题设计，以考查学生在相应知识水平中所能达到的数学素养水平。

三、命题策略与试题设计

（一）突出建模过程，提升迁移能力

PISA2021 数学素养定义中，把“解决实际问题”作为数学学习的目的，强调学生在使用数学知识与掌握相关数学能力后，能够回到现实情境，理解现实情境。

【试题1】无障碍设施的建设，体现城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计与要求。坡度指每段坡道的垂直高度与水平长度的比。（图2）

图2

（1）一条轮椅坡道的坡度是1:16，水平长度是12.8m，这条轮椅坡道的垂直高度是（ ）m。

（2）建设轮椅坡道有最大垂直高度的规定，坡度、最大垂直高度及水平长度的要求见表2。

表2

例如当坡度是1:20 时，垂直高度不能超过1.2m。

下面是一条坡道的示意图（图3），这条坡道是否符合轮椅坡道的建设要求呢？列式计算并说明理由。

图3

【分析】水平1：知识理解。利用比的知识，建立坡度模型。理解坡道、垂直高度、水平长度的含义。水平2：知识迁移。问题（1）利用模型解决问题。已知水平长度和坡度，求出垂直高度。把现实问题转化为数学问题，知道数学问题的作用以及价值所在。即能够选择恰当的数学模型表达所要解决的数学问题，培养数学抽象能力。水平3：知识创新。问题（2）学生在现实真实情境中，运用数学思维思考分析，发现情境中的数学关系，从而做出准确判断。考查能否利用数学模型解决实际问题的能力，能否能够运用数学语言，准确地表达和交流，通过数学模型的结论和思想阐释科学规律和社会现象。

（二）强化逻辑推理，厘清知识脉络

推理是数学的根本思维方式，推理能力是学生未来生活和工作必须具备的一种重要的数学素养。PISA2021 数学将“数学推理”放在核心位置。我国数学课程标准也把推理能力的培养作为数学思考中的一项重要内容。

【试题2】光明小学去年参加数学兴趣小组的学生有315 人，其中女生人数是男生人数的80%，今年需要再招募一些女生，使得男女生人数比是7：6，那么今年需要招募女生多少人？

【分析】本题是一道稍复杂的有关比和比例的试题，注重考查学生的知识理解水平。根据题目信息，确定出相关联的知识点有：百分数和分数的互化、比的意义和性质、数值运算。解题思路：由数的互化得到原来男、女生人数比，进而得出去年男女生的人数。根据今年男生人数不变这个关键点，推出男生人数和男、女生人数比，求出今年女生人数。最后通过对比，得出前后女生人数的差值，即为今年新招募的女生人数。或者通过总人数的变化得出结论：同样根据男生人数不变这个关键点，推出男生人数占总人数的比率，得出今年总人数。再根据对比前后总人数得出差值，得到变化人数，即为新招募女生人数。分析思维导图（图4）。发现解决本题需要利用数值计算，历经7 步推理，3 个知识点。从已知到未知的逻辑顺序去思考，推理方向属于正向推理。在素养培养上，通过画线段图，明确条件和所求问题，并根据得到的相关数据进行分析，培养学生的推理能力、计算能力、几何直观等数学素养。

图4 试题2 的思维导图

（三）重视“解决问题”，展示思维全过程

PISA2021 框架指出，数学学习的目标是提升解决问题能力。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》也明确指出，问题解决的学习目标，既要培养人的敢于探索的创新精神，又要发展人的解决问题的实践能力。所以，问题解决的试题设计，应为了实现问题解决的目标。在试题设计上，要强调让学生经历问题解决的思维全过程。

【试题3】如图5，一个内直径是8 厘米的瓶子里，水的高度是7 厘米，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度18 厘米。这个瓶子的容积是多少？

图5

【分析】知识理解上，从3 个已知数可知瓶中水的体积以及瓶子倒置后瓶中无水部分的容积。要求瓶子的容积，需知瓶子倒置前无水部分（不规则立体图形）的容积。如何把需知变可知呢？这就需要知识的迁移，进行推理：为什么要把瓶子倒置呢？瓶子倒置前后什么变了，什么不变？瓶子倒置前后，瓶子容积不变，瓶中水的体积也不变。由此可知，瓶子倒置前无水部分的容积与瓶子倒置后无水部分的体积是相等的。于是，需知就转化为可知了。

接着回顾分析和解答的过程，厘清解题的关键所在，解释结果的合理性。无论是分析还是解答过程，推理和运算都是数学活动最重要的基本形式。通过反思，寻找合理简洁的解题方法，积累思维的经验，明确解决此类问题的关键是利用体积不变的特性，把不规则图形转化为规则图形，化归为模型解决。面对一个变化的过程，主动寻找变化中的不变量，也是解决问题的一条重要经验，培养学生从头到尾想问题的习惯。在解决问题过程中，发展学生的推理能力、运算能力、模型思想等数学素养。

（四）注重实践能力导向，培养综合素养

【试题4】如图6，左图显示了一辆赛车沿着3 千米的平坦的跑道跑第二圈时的速度变化情况。

图6

问题：沿着右图的哪个轨道驾驶，会呈现左图的车速变化图？

【分析】本题要根据学生已有的认知经验，解决现实生活中的问题。但是，对中低程度学生理解能力的引领以及对优生知识创新水平的考查不足。以下对此题进行补充，从知识学习的三种形态入手，形成问题串，并分析所考查的数学核心素养水平。

问题1：从轨道起始点到中间最长的平直部分开始点，距离大约多少？

问题2：跑轨道第二圈时，在哪个位置速度最慢？问题3：请描述2.2km 到2.4km 之间车速的含义。

首先，该题的知识理解部分，学生要看得懂统计图，速度随着时间的推移而不断变化。要明白生活中的常识：跑第二圈时，一开始速度很快，而不是从静止状态慢慢提速。弯道上行驶速度会减慢，直道上行驶速度会加快等。根据图像横轴表示行驶的距离，纵轴表示行驶的速度的变化，从起始线到轨道里最长且平直部分的开始处，根据图像可以得出是1.5km 处，汽车速度明显开始增加，并且行驶路程较长，其大约距离为1.5km。结合图像得出，约在1.3km 处，汽车速度最低。

其次，知识迁移。会运用速度时间的关系解决问题。分析车速统计图中路程与时间的数量关系进行推理，根据车速的快慢想象实际赛道是弯道还是直道，从而做出判断。此时有了问题4，即原题。

第三，知识创新。在解决基本问题之后，能否把得到的结论推广引申，再提出一些新的问题，并加以解决。所以增加一些考查学生的知识创新能力的问题。

问题5：想象并在统计图中绘制赛车第一圈的速度变化情况。

问题6：你认为右图中，哪一个跑道最适合选手比赛？请说明理由。

经过改造，由于所需要的知识呈阶梯式推进，因此可以考查知识学习的三种水平层次，并全面测查出学生的数学核心素养：从现实中抽象出数学问题并推广引申——数学抽象。将速度时间模型用于解决现实问题并能灵活运用模型——数学运算、模型思想渗透。通过观察图形，结合生活经验抽象出数量关系，并能够应对图形变化——直观想象。根据统计图中的信息，经过对比、筛选，绘制速度变化情况——数据分析。根据图式作出分析、推理，交流及阐述理由——推理能力。