均质圆盘热传导问题的新解法1)

李翔宇 袁江宏 沈火明 李映辉

(西南交通大学力学与工程学院，成都 610031)

热传导是航空航天、高速铁路、电子器件等高新领域的关键科学技术问题。关于热传导过程中引起的热应力是当前学术研究的热点之一。从理工科核心课程数学物理方法教学的角度来看，热传导方程是典型的抛物线型二阶偏微分方程[1]。若时间足够长，均质材料/结构中的温度最终会达到稳态。针对二维问题，在极坐标系(ρ，φ)中，稳态温度场T(ρ，φ)需满足拉普拉斯方程[1]

此时，偏微分方程为椭圆型方程。

本文针对均质圆盘中的热传导问题，提出一种新的求解方法。这种简单而优雅的解法由复变函数中解析函数所满足的柯西-黎曼方程并结合圆域中的泊松公式直接获得。所得的积分形式解与文献中提出的傅里叶级数解完全一致。这项工作建立了傅里叶级数解和积分形式解两者之间的桥梁，丰富了数学物理方法的教学内容，并可为相关数学等式提供物理解释。

1 均质圆盘热传导问题

如图1 所示，考虑半径为a的均质圆盘的热传导问题，即假设圆周ρ=a处的温度为

其中f(φ) 为已知函数，求圆盘中(ρ≤a) 的稳态温度分布。显然，式(1) 和式(2) 构成了一个典型的边值问题。

在数学物理的经典参考书[2]中，给出了该问题的傅里叶级数解答。此解答从如下定理出发：若T(ρ，φ) 是定义在圆形区域(ρ≤a) 内的调和函数，则T(ρ，φ) 可以表示成的傅里叶级数[2]为

即cna|n|为函数f(φ) 的傅里叶级数中的系数[2-3]。

将式(5) 代入式(3)，便得到了边值问题(1)和(2) 的解，即用傅里叶级数(3) 和(5) 确定了圆盘中的稳态温度分布。

2 积分形式解

这一节探讨边值问题的积分形式解。它可由复变函数中的泊松公式直接获得。

现在推导泊松公式。假设复变函数g(ρ，φ) =u(ρ，φ) + iv(ρ，φ) 是定义在复平面上半径为a的圆域|z| =ρ≤a内的解析函数，其中z=ρeiφ，|z| 为复数z的模，且u(ρ，φ) 和v(ρ，φ) 为二元实变函数。显然，作为解析函数的实部和虚部，u(ρ，φ)和v(ρ，φ)需满足柯西-黎曼方程，进而满足二维拉普拉斯方程，即[1]

对于圆内任意一点z=ρeiφ(ρ ＜a)，由柯西积分公式有[1]

其中ζ=aeiθ(0 ≤θ ＜2π)。

另一方面，对于圆外一点z1=(a2/ρ)eiφ=ρ1eiφ(即ρ1=a2/ρ)，由柯西定理知[1]

式(7) 减去式(8)，可得圆域的泊松公式[1]

比较式(9) 两边的实部和虚部，可得

即复变函数的实部(或虚部) 在圆内任意一点处的值可由实部(或虚部) 在圆边界上的值加权积分来表达。

由于圆盘的温度场满足拉普拉斯方程，故可认为T是某解析函数的实部或虚部。于是圆盘的温度场可由边界的温度来表示

3 解的一致性

在这一节中，级数解(3) 和(5) 将化为积分解(11)。将式(5) 代入式(3) 并交换积分顺序(因级数绝对收敛)，可得

将式(15) 代入式(12)，便得到式(11)。这说明级数解和积分解是一致和等价的。

4 讨论

本节讨论两类特殊情况。

情形一：圆盘周边在点(ρ，φ)=(a，φ0)处有一强度为T0的点热源，其余地方温度为0，即T(a，φ)=f(φ)=T0δ(φ-φ0)，其中δ(x) 为关于x的狄拉克δ函数。由式(11) 可得圆盘中的无量纲温度分布为

其中λ(ρ，φ) 在数学物理方法中为泊松核，解释为边界影响函数。

情形二：圆盘周边保持恒温，即T(a，φ) =f(φ)=T0。此时，圆盘中每点的温度必为T(ρ，φ)=T0。由式(12) 可得

根据参考文献[4]，式(17) 中的结果是正确的。事实上，该积分可化为复平面上单位圆的围道积分进行计算[1]，也可得到式(17) 的结果。这样便为恒等式(17) 赋予了物理含义。

5 结论

本文利用复变函数中圆域的泊松公式获得了均质圆盘的稳态热传导问题的积分解 (11)。该积分解与傅里叶级数解(3) 和(5) 是一致的。考虑积分解的两种特殊情况，从而为泊松核函数和恒等式(17) 赋予了物理含义。该项工作为傅里叶级数解和泊松公式搭建了桥梁，丰富了数学物理方法的教学内容。