从空间到时间1)—— 张量的协变微分学及协变性思想的拓展

殷雅俊

(清华大学航天航空学院工程力学系，北京 100084)

标题显示出了三个关键词：空间域上的协变微分学，时间域上的协变微分学，协变性思想。其中，空间域上的协变微分学成熟于里奇学派。其核心思想，亦即协变性思想，是里奇学派的伟大创见。三个关键词中，只有时间域上的协变微分学是个新词汇。

读者也许会问：“时间域上的协变微分学，与空间域上的协变微分学，有何区别和联系？”本文尝试给出回答。

本文包括如下内容：(1)类比张量的空间协变微分概念，引入张量的时间协变微分概念；(2) 类比张量的空间广义协变微分概念，引入张量的时间广义协变微分概念；(3)类比空间域上张量的协变微分学和广义协变微分学，展示时间域上张量的协变微分学和广义协变微分学；(4)揭示空间域上与时间域上张量的协变微分学之间的对称性，以及广义协变微分学之间的对称性。

1 从历史的天空看张量微分学中的协变性思想

文献[1-4] 曾指出，张量的微分概念不具有协变性。确切地说，张量分量的微分，不再是张量分量。里奇学派敏锐地意识到了张量的微分概念的局限性，他们拓展了协变性思想，定义了张量的协变微分概念。

历史地看，协变微分是里程碑性的新概念––它是协变微分学诞生的标志，不仅为新学科奠定了基础，而且为其发展开辟了新道路。

协变微分学的“运气”可谓好得出奇：一经问世，就大放异彩–– 携手黎曼几何学，为广义相对论奠定了数学基础。广义相对论著名的公设之一，是协变不变性公设。可见，在爱因斯坦心目中，协变性思想居于多么崇高的地位。不仅如此，广义相对论场方程的关键项之一，就是里奇张量的协变导数。显然，没有协变微分学，就没有广义相对论。

历史给予我们启示：协变性思想的任何拓展，都可能具有恒久价值。幸运地是，这样的拓展之路，竟然确凿无疑地存在。拓展之路的起点，仍然是修复对称性破缺的概念以及理论。确切地说，是修复空间与时间之间的对称性破缺–– 空间域上，协变性思想无处不在；时间域上，协变性思想无影无踪。具体地讲，协变性思想起源于空间域，并在空间域上大放异彩。但在时间域上，似乎难觅其踪迹。强烈的反差引起了笔者的注意，由此开启了弥补对称性破缺的进程。现就其中的探索和感悟与读者分享。

2 张量分析学中的对称性破缺

文献[1-2] 已经证实：张量的空间微分与张量的时间微分是对称的概念。基于前者，可发展空间域上张量的微分学；基于后者，可发展时间域上张量的微分学。而空间域上张量的微分学与时间域上张量的微分学，是完全对称的理论。

然而，优美的对称性没能得到延续：

(1) 我们有“张量的空间协变微分” 概念，但没有“张量的时间协变微分” 概念。显然，概念上存在对称性破缺。

(2)我们有空间域上张量的协变微分学，但没有时间域上张量的协变微分学。显然，理论上存在对称性破缺。

我们借助关联图将上述对称性和对称性破缺进行罗列，如图1 所示。

图1 对称性和对称性破缺

为便于读者理解，再就关联图做更细致的类比和解说。

先做纵向类比：历史上，先驱们将张量的空间微分扩展成了空间协变微分，将空间域上张量的微分学发展成了张量的协变微分学。可以追问：与张量的时间微分形影相随，能否扩展出张量的时间协变微分？与时间域上张量的微分学相生相伴，能否发展出时间域上张量的协变微分学？

再做横向类比：与张量的空间微分对应，对称地存在张量的时间微分；与空间域上张量的微分学对应，对称地存在着时间域上张量的微分学。可以追问：与张量的协变微分对应，是否对称地存在张量的时间协变微分？与空间域上张量的协变微分学对应，是否对称地存在时间域上张量的协变微分学？

科学史上有这样的范例：伟大先驱们一旦捕捉到对称性破缺现象，便紧追不舍，匠心独具地弥补破缺，孜孜以求地修复对称。而新的对称性，最终都毫无例外地助产了新的理论。现在，我们在张量分析学中发现了更多的对称性破缺。问题是，能否弥补破缺的对称性？能否构建新的对称性？能否引出新的理论？答案是肯定的。

伟大先哲告诫后人：“历史时常有惊人的相似之处，但决不会简单地重复”。“惊人的相似之处”，意味着我们总能从历史中获得借鉴。“决不会简单地重复”，意味着我们必须有所创造。

3 修复对称性破缺的切入点—— 对称性基因及其遗传

拉格朗日描述下，文献[1-2] 已经成对列出了对称性概念–– 场函数(·) 对拉格朗日坐标xm的微分d(·)(即空间微分) 和对时间t的微分dt(·) (即时间微分)

其中，∂(·)/∂xm是场函数(·)对拉格朗日坐标xm的偏导数(即空间导数)，dt(·)/dt是场函数(·) 对时间t的偏导数(亦即物质导数或时间导数)。两个定义式在表观形式上是对称的，在解析结构上也是对称的。由于两个概念非常基本，因此，它们就像两颗对称的种子，内含对称的基因。令对称基因持续不断地遗传下去，便可弥补破缺的对称性。

拉格朗日坐标线嵌入在物体内且随之一起变形，构成随体(或拖带) 坐标系。沿坐标线，基矢量可借助矢径r=r(xm，t) 定义为gm=∂r/∂xm。为方便起见，随体的gm被称为拉格朗日基矢量。空间域上，拉格朗日基矢量的空间导数由克里斯托菲尔公式给出[5]

联立式(1) 和式(3)，可写出基矢量的空间微分

其中，∇ivk是速度分量vk对坐标xi的协变导数。式(3) 与式(5)，式(4) 与式(6)，在表观形式上是对称的，在解析结构上也是对称的。

以上述对称性为基础，空间域和时间域上对称化的协变微分学，就可以拉开序幕了。下面，我们以二阶张量为例，展开对称化进程。

拉格朗日描述下，二阶张量场函数T的分解式为

为简单起见，式(7) 中只列出了张量的混变分量。

4 空间域上的协变微分学

空间域上的协变微分学[5-7]是里奇学派的杰作。历史地看，空间协变导数和空间协变微分，是空间域上协变微分学的标志性概念。笔者注意到，先驱们在引出空间协变导数概念时，选择了非常平易的出发点–– 张量对坐标的空间偏导数。式(7) 对坐标xm求偏导数。借助于式(3)，可以导出

组合系数是dxm。

至此，空间域上协变微分学的逻辑基础成型了。随后，我们看到了空间域上美轮美奂的建筑–– 奠定在协变微分概念基础之上的协变微分学。

5 时间域上的协变微分学

空间域上，从张量的经典微分学到协变微分学，先驱们精彩纷呈的探索之路，深深地吸引了笔者；先驱们深邃的协变性思想，深深地启发了笔者。2014年，笔者逐渐意识到，协变性思想的探索，应该有两条平行的道路：先驱们走过的协变性之路，是空间域上的协变性道路。与之相对称，还存在着一条平行之路，即时间域上的协变性道路[7-9]。沿着这条对称之路，可以从时间域上张量的微分学，走向时间域上张量的协变微分学。

式(14) 与式(9) 之间的对称性，式(15) 与式(10) 之间的对称性，清晰可见。优雅的对称性，被完整地遗传了下来。

当然，“时空的协变性”，仅仅是作者的个人感知，其真理性远未得到检验。尽管如此，作者确信，协变性是时空的本征性质。或者说，协变性是大自然的本征性质。

进一步可研究张量场函数的时间协变

式(16) 与式(11) 之间的对称性，式(17) 与式(12) 之间的对称性，清晰可见。对称性的遗传，稳定且精准。

正如时间微分与时间导数成正比(式(2))，时间协变微分与时间协变导数也成正比

至此，时间域上协变微分学的逻辑基础齐备了。我们看到了时间域上富丽堂皇的建筑––奠定在时间协变微分概念基础之上的协变微分学。

同时，理论的对称性破缺得以弥补–– 时间域上的协变微分学大厦，与空间域上的协变微分学大厦，构成了对称的建筑群，如图2 所示。

图2

6 从空间协变微分到空间广义协变微分

然而，二者的对称性没有遗传下去。协变性思想确保了∇mui有定义，但∇mui的定义诱发了对称性破缺

也就是说，空间域上的协变微分学内部，存在对称性破缺现象。这不是个别现象，类似的对称性破缺现象在空间域内普遍存在。要弥补破缺的对称性，必须以合适的方式定义∇mgi，以便建立起∇mui～∇mgi对称

要定义∇mgi，仅有协变性观念是不够的，必须发展广义协变性观念[2，10-13]。

广义协变性是一个新观念。发展新观念，需突破老观念。突破形式有两类，第一类是内部突破，第二类是外部突破。

不同于内部突破，外部突破意味着，从老观念出发引不出新观念，即必须从外部引入新的逻辑基础。更一般地说：问题是在A 学科中提出来的，而解决问题的方案却在A 学科之外(或B 学科之内)。例如，“怎样定义基矢量的空间协变导数∇mgi？怎样定义并基的空间协变导数∇m(gigj)？” 这类问题，是从空间域上的张量协变微分学内部提出来的，但答案却不在其内部而在其外部。

笔者的解决方案，是以新概念为导引，以公理为基础，将广义协变性观念[10-13]，从外部赋予空间域上张量的协变微分学。其具体内涵如下。

(1) 抽象出了一个更具一般性的新概念–– 广义分量：

拉格朗日空间域上，满足里奇变换的量，被称为拉格朗日广义分量。

(2) 提炼出了一条极具基础性的公设–– 空间域上的协变形式不变性公设。

拉格朗日空间域上，公设表述如下：

拉格朗日广义分量的空间广义协变导数(或空间广义协变微分)，与拉格朗日分量的空间协变导数(或空间协变微分)，在表观形式上具有完全的一致性。

表观形式的一致性，就是对称性。因此可以说，协变形式不变性公设，就是对称性公设。公设规定了∇mgi与∇mui表观形式的一致性。这样，就补齐了∇mui～∇mgi对称性。

随着空间广义协变导数(微分) 概念的定义，新的概念对称性破缺出现了，如图3 所示。

图3

下一节我们将弥补概念上的对称性破缺。

7 从时间协变微分到时间广义协变微分

可见，时间域上的协变微分学内部，也存在对称性破缺现象。这也不是个别现象，类似的对称性破缺现象在时间域上普遍存在。要补全破缺的对称性，也必须发展时间域上的广义协变性观念。

时间域上的广义协变性观念[2，8-9，14]，不可能从时间域上的协变微分学内部产生，需借助于公理化思想从外部引入。于是有拉格朗日时间域上的协变形式不变性公设：

拉格朗日广义分量的时间广义协变导数(或时间广义协变微分)，与拉格朗日分量的时间协变导数(或时间协变微分)，在表观形式上具有完全的一致性。

注意到，式(21)、式(22) 与式(19)、式(20) 完全对称。这样，概念上的对称性破缺被补齐了，如图4 所示。

图4

8 空间域上的广义协变微分学

“概念+公设”，就构成了公理化系统的基本要素。拉格朗日空间域上的公理化系统，就是拉格朗日空间域上的广义协变微分学[2，10-13]。

这个线性变换，可以推广到任意广义分量。

张量T是特殊的广义分量。其空间广义协变导数∇mT和空间广义协变微分DT，可以按照公设定义，并可以证实有

这是赏心悦目的结果。式(24)结合式(9)和式(11)，可知

至此，空间域上广义协变微分学的轮廓，清晰化了。

然而，理论上新的对称性破缺又出现了，如图5所示。

图5

下一节我们将弥补理论上的对称性破缺。

9 时间域上的广义协变微分学

弥补理论上新的对称性破缺并不困难：既然公理化思想能将空间域上的协变微分学拓展为广义协变微分学，那么，公理化思想也能将时间域上的协变微分学拓展为广义协变微分学[8-9，14]。

这个比例变换，可以推广到任意广义分量。

对于张量T，其时间广义协变导数∇tT和时间广义协变微分DtT，可按照公设定义，且可以证实有

式(27) 结合式(14) 和式(16)，可知

至此，时间域上广义协变微分学的轮廓，清晰化了。

注意到，式(26)～式(28)与式(23)～式(25)完全对称。可以说，时间域上的广义协变微分学，与空间域上的广义协变微分学，完全对称。形象地讲，时间域上广义协变微分学的大厦，与空间域上广义协变微分学的大厦，构成了完美对称的建筑群，如图6所示。

图6

再从整体上鸟瞰一下：从左到右，我们看到了平行对称的三组建筑群：第一组是空间域上的张量微分学与时间域上的张量微分学；第二组是空间域上的协变微分学与时间域上的协变微分学；第三组是空间域上的广义协变微分学与时间域上的广义协变微分学。本文按顺序依次描绘了三组对称建筑群的构建历程，井然有序，一气呵成，顺畅自然。然而，笔者必须坦诚地告诉读者：真实的探索过程远非如此轻松愉快。恰恰相反，一路磕磕绊绊，曲折反复，多次功败垂成。读者也许会质疑：本文中的构建进程完全异于真实的探索过程，是否有“篡改历史”的嫌疑？

笔者联想到学生时代的经历。当年学习麦克斯韦方程组，深为其优美、庄严、深刻所折服。然而，查阅历史后才发现，教科书中的描述，与麦克斯韦真实的探索过程，完全不是一回事。教科书中的麦克斯韦方程组，是千锤百炼后的完美形态，与其诞生时的初始形态相比，自然有面目全非之感。然而，我们并不能指责教科书伪造了历史。

笔者引用高斯的名言做注脚：“漂亮的大厦建成了，谁还会留下脚手架？”

10 空间域上广义协变微分学的可计算性

空间域上，要使广义协变微分学具有可计算性，必须澄清基矢量的空间广义协变导数和空间广义协变微分[2，10-13]。本节同时关注一个问题：透过广义协变性思想的透镜看空间，能看到什么？

拉格朗日基矢量gi的空间广义协变导数∇mgi，可根据公设，仿照矢量分量ui的空间协变导数∇mui，定义成

仿照矢量分量ui的空间协变微分Dui，拉格朗日基矢量的空间广义协变微分可定义为

基于上述定义，可以从空间广义协变性的角度，研究空间的性质。立即发现，基矢量的空间广义协变导数和空间广义协变微分均恒为0，即

一旦基矢量的空间广义协变导数(微分) 可计算，空间域上的广义协变微分学，就具有了可计算性。

前期的研究中，式(31) 和式(32) 被称为“空间域上的协变微分变换群”。这一变换群下的不变性质，就构成了空间域上广义协变微分学的核心内容。

基矢量的空间广义协变导数(微分) 恒为0，其物理意义，已经在前期的综述论文中得到阐释：融入基矢量的观察者(简称“随基观察者”) 看到的基矢量的空间变化率，就是基矢量的空间广义协变导数。由于观察者随着基矢量的伸长而伸长，随着基矢量的转动而转动，因此，他根本感受不到基矢量的空间变化率，或者说，他感受到基矢量的空间变化率恒为零。

这里引用前辈力学家武际可先生的观点：“基矢量的协变导数恒为零，是随基观察者牵连运动的必然结果。” 笔者将武先生的观点称为“运动的观点”–– 观察者站在基矢量上，随之一起运动，这是牵连运动。由于随基观察者完全融入了基矢量，因此，他看到的相对运动，就恒为零。笔者认为，这是非常漂亮的思想，完美地把数学与力学融成了一体。这是影响广泛的命题。可以推知，由基矢量的乘法运算生成的任何广义分量，其空间广义协变导数和空间广义协变微分均恒为零。下面是满足命题的例子。

度量张量分量的空间广义协变导数和空间广义协变微分均恒为0

度量张量是空间长度度量的“刻度”。其空间广义协变导数(微分) 为零，正是随基观察者看到的结果。

度量张量的杂交分量[2，15]的空间广义协变导数和空间广义协变微分均恒为0度量张量杂交分量就是坐标变换系数。它不仅是空间长度度量的“刻度”，而且是坐标变换的“担当者”。其空间广义协变导数(微分) 恒为0，正是随基观察者看到的图像。

我们该如何理解空间域上的“0” 结果？作者认为，“0”结果表明，空间具有协变性。可以大胆推断：协变性是空间的本征性质。

没有空间域上的广义协变微分学，我们感知不到空间的协变性。这涉及到一个“诡异” 的问题：空间的协变性，是客观实在，还是人为的塑造？笔者倾向于认为，尽管空间广义协变微分是人造的概念，但由其刻画的空间协变性，是客观的，是不以人的意志为转移的。

特别要指出的是，大量的“0”结果，使得空间域上的广义协变微分学，变得致精致简。

11 时间域上广义协变微分学的可计算性

时间域上，要使广义协变微分学具有可计算性，必须澄清基矢量的时间广义协变导数和时间广义协变微分[7-9]。本节同时关注一个问题：透过广义协变性思想的透镜看时间，能看到什么？

按照公设，拉格朗日基矢量的时间广义协变导数∇tgi，仿照矢量分量ui的时间协变导数∇tui，可定义成

依据公设，仿照矢量分量ui的时间协变微分Dtui，拉格朗日基矢量的时间广义协变微分可定义为

注意到，式(39)、式(40) 与式(29)、式(30) 完全对称。在这样的定义下，就可以从时间广义协变导数(微分)的角度，研究时间的性质。立即发现，基矢量的时间广义协变导数(微分) 恒为0，即

一旦基矢量的时间广义协变导数(微分) 可计算，拉格朗日时间域上的广义协变微分学，就具有了可计算性。式(41)和式(42)被称为时间域上的协变微分变换群。这一变换群下的不变性质，就构成时间域上广义协变微分学的核心内容。

基矢量的时间广义协变导数(微分) 恒为0，其物理意义，可以这样阐释：随基观察者看到的基矢量的时间变化率，就是基矢量的时间广义协变导数(微分)。他随着基矢量的伸长而伸长，随着基矢量的转动而转动，因此，他根本感受不到基矢量的时间变化率，或者说，他感受到了0值。

请读者再次回顾一下武际可先生运动的观点。注意到，式(41)、式(42) 与式(31)、式(32) 完全对称。

如下命题自然成立：基矢量的乘法运算给出的任何广义分量，其时间广义协变导数(微分) 均恒为0。满足命题的案例如下。度量张量分量的时间广义协变导数(微分) 恒为0，即

随基观察者感觉不到度量张量的时间变化率。注意到，式(43)、式(44) 与式(33)、式(34) 完全对称。

作为坐标变换系数，度量张量的杂交分量的时间广义协变导数(微分)[2，15]恒为0，即

我们该如何理解时间域上的“0”结果？“0”结果意味着，时间具有协变性。大胆推测：协变性是时间的本征性质。

没有时间域上的广义协变微分学，我们感知不到时间的协变性。这涉及到一个“诡异” 的问题：时间的协变性，是客观实在，还是人为的塑造？笔者倾向于认为，尽管时间域上的广义协变微分是人造的概念，但由其刻画的时间协变性，是客观的，是不以人的意志为转移的。

特别要指出的是，大量的“0”结果，使得时间域上的广义协变微分学，变得致精致简。

12 时空的协变性

如上所述，空间具有协变性，时间也具有协变性。联合起来，就可以说，时空具有协变性。或者说，协变性是时空的本征特性。

当我们谈及场函数，一般都是指外加在空间域上的函数，例如，应力张量场函数，应变张量场函数，等。实际上，空间域自身也有场函数，例如，基矢量场函数，度量张量场函数，等。空间域自身的场函数，刻画的是空间自身的本征性质，因此，可称之为空间的本征场函数。

协变性思想，虽然是从外加张量场函数引出来的观念，但也适用空间的本征场函数。时空上的“0”结果，正是协变性思想与空间本征场函数相结合的产物。“0” 结果，是本征场函数的空间协变微分不变性质，也是本征场函数的时间协变微分不变性质。也可以说，“0” 结果，是时空的协变不变性质。没有广义协变性思想的透镜，不可能看见如此抽象的不变性质。

时空，是力学研究永恒的参照“背景”。理解时空的本性，是力学探索者永恒的使命。笔者曾经认为，力学发展到今天，对时空的理解，已臻完美无缺。然而，随着协变性思想的拓展，笔者改变了看法：时空仍然是力学中有待深入理解的对象之一。

力学研究物质的运动，而任何运动都发生在特定的时空，都要受到时空的约束。这样的约束，必然体现在刻画运动的自然规律中：因为时空具有协变性，因此，自然规律必然具有协变性。于是，我们有一般性命题：正是时空的协变不变性，决定了自然规律的协变不变性。

由此看来，广义相对论将“协变不变性”提升到至高无上的公理地位，绝对是无与伦比的高明之举。

透过广义协变性思想的透镜，我们看到了美丽、对称、协变的时空！

13 结论

空间域上的协变微分学是先驱们的经典之作，极大地推动了物理学和力学的发展。笔者期待，时间域上的协变微分学，能够像空间域上的协变微分学一样，成为物理学和力学探索者开疆拓土的利器。

对称性贯穿本文始终。空间域上的协变微分学与时间域上的协变微分学，概念是对称的，概念的解析结构是对称的，理论体系是对称的。当然，空间和时间也是对称的。对称性，大都表现为解析结构的相似性，以及代数结构的一致性。

空间域上的协变微分学与时间域上的协变微分学的对称性，是偶然的巧合吗？笔者的答案是否定的。如此精致的对称性，昭示着某种客观性和必然性。当然，要刻画空间域上的广义协变微分学和时间域上的广义协变微分学，人为塑造的概念必不可少。虽然人为塑造的概念是主观意志的产物，但人造概念揭示出的广义协变性和对称性，却是客观实在。