挖掘数学史，促进学生学习发展——《教学月刊·小学版》（数学）2021年第6期导读有感

□许霜霜

数学史是研究数学发生发展及其规律的科学。它向人们呈现的不仅仅是数学知识的发生、发展历程，还有隐藏在数学知识背后的文化内涵。近年来，关于数学史与数学教育（History and pedagogy of Mathematics，简称HPM）的理论与实践研究在我国开创了繁荣发展的局面，数学史作为数学文化的核心部分越来越受到关注。

本期杂志17篇文章中有14篇聚焦HPM，形成系列专题研究，相信本期杂志定会成为关注数学文化、关注数学史研究的相关教师的“案头书”。下面从理论探讨、教学实践、数学文化三个方面对本期相关内容加以综述，以供广大读者借鉴参考。

一、HPM的理论探讨

（一）研究价值

数学史是人类发展的结晶史，正因为有前人的不断探索与研究，才有如今简约的数学概念、公式、定理。华东师范大学的汪晓勤教授将HPM研究价值归纳为“知识之美”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”六大价值。这与四基、四能、核心素养、情感态度与价值观等课程改革的理念是相吻合的，也是数学学科育人的重要举措。

苏龙霞老师在《价值、内容、方法：让数学史更好地走进小学数学课堂》一文中提出，教师在教学时，要从价值取向、内容取向、方法取向三个方面对数学史料进行辩证取舍。数学史融入数学课堂的价值取向是指实现教与学的统一，从而达成真正意义上的深度学习。以此提出两点建议：其一，教师的教要触及本质；其二，学生的学要明确方向。

（二）研究进展

尽管小学HPM存在教育取向的数学史匮乏、实践中出现“高评价、低应用”的现状、实证研究不足等问题，但众多一线教师对HPM的实践、新的教育理念的涌现、课程改革的不断推进，极大地推动了小学HPM的发展。

岳增成老师在《小学HPM新进展》一文中提出，中国的HPM发展经历了“自下而上”与“自上而下”两个阶段：发轫于中学，HPM研究者与中学教师合作开发案例的过程中，总结经验，升华理论；发展于中小学，将本土化的HPM理论应用于中小学教学。课程改革的不断推进带动了小学HPM的快速发展，引发了小学HPM在理论辐射、价值认知、使用方式、内容载体、实施空间、理论联结、研究范式等方面的新动态。

（三）学习形式

华东师范大学汪晓勤教授提出了数学教学中运用数学史的四种方式，分别是：附加式、复制式、顺应式、重构式。顾宇恒、蔡宏圣老师在《基于数学史实施深度学习》一文中对小学数学教学中如何更好地运用数学史的四种方式，促进学生深度学习提出了建议：超越历史史实，更多地指向意义与动机；超越列举呈现，更多地进行知识间勾连；超越史料本身，更多地呈现思考过程；超越数学结论，更多地进行探索再创造。

曹春艳、岳增成等老师在《小学数学教科书数学文化呈现比较与教学初探——以人教版和北师大版中“你知道吗”栏目为例》一文中对人教版与北师大版中“你知道吗”栏目进行了呈现数量、呈现风格、呈现内容以及呈现语言四个方面的比较分析，提出：教师教学用书对该栏目没有特别说明，教师对该内容的教学存在意识淡薄、思考不足的现象，往往采用选择性使用或学生自行阅读的方式，即数学史的附加式运用，这样不利于将课程形态的数学文化转化成为教育形态的数学文化。

以上两文中均建议：从深度学习的要义去审视，“你知道吗”栏目的教学，要关注栏目的教育意蕴，彰显其特有的学习价值；要关注栏目内容的设计与开发，适度加工，让其教学意义超越数学史本身，更多地指向领悟数学知识的意义与激发学生的学习。

二、HPM的教学实践

HPM的教学实践是指将数学史融入数学课堂教学的实践研究，包括HPM课例的设计、实施、评价与反馈等方面。本期中的8个教学实例，主要聚焦在设计与实施上。8个案例试图通过对相关内容数学史料的收集、整理、分析以及有效利用，探索如何从数学史料中体悟探究的过程，如何从数学史料中把握探究的程度，如何从数学史料中明晰探究的方向。结合具体的“课”进行研究，探索有效利用数学史料的具体策略。

（一）读史理序，重构学习知识的探究之序

宦铭里、李绍平、洪燕君老师在《数学史融入“长方形和正方形的认识”的课堂教学》一文中，基于相关数学史料的研究，按照“长方形→正方形→四边形”的探究顺序对教学进行了重构。通过观看数学史微视频了解长方形和正方形的由来和发展；通过“找、量、比、折、画”等探究活动，体会“方出于矩”的数学思想，掌握长、正方形的特征。

飞惠玲、袁科虹老师在《理论互动，“三序”融合——以“圆的认识”案例生成为例》一文中提出，将知识的历史发展顺序、教材的知识逻辑顺序、学生的认知发展顺序“三序”融合，是数学史融入小学数学教学的难点所在。

（二）融史选材，设计问题探究的学习活动

李建良、林永伟老师在《利用数学史料，解决复杂问题，发展综合能力——小学五年级开展“勾股定理”教学的尝试与思考》一文中，结合相关史料，借鉴初中数学的一些做法，设计了“以等腰直角三角形和各边上正方形面积关系初探、借助‘勾三股四弦五’进一步探究、通过‘赵爽弦图’尝试进行实验证明”三个学习活动，使学生经历了从特殊到一般的过程，发现并验证勾股定理，引发学生的深入思考，发展学生的综合能力。

刘树霞、郑玲玲老师在《挖知识源流，助文化互融——以基于数学史的“三角形的面积”教学为例》一文中，分析了不同时空中与三角形面积计算有关的历史素材，以几何学的起源为开端，顺应式地融入了古希腊等底等高的三角形和平行四边形面积关系的命题；构建了直角三角形的面积到锐角和钝角三角形的面积的探究活动，学生较为自然地探究出割补、倍拼的方法；在古今对照的学习活动中，了解古人的方法，拓展知识面，知晓原来也可由三边长度得到三角形的面积。

（三）依史设问，激发学生深入探究的动机

张伟明老师在《在“你知道吗”中亲历知识的演变——例谈HPM视角下“年、月、日”的教学》一文中，将教材中“你知道吗”这一栏目里相关的数学史融入课堂教学，陈爱君老师在《重构学习深度理解——HPM视角下“圆的面积”教学实践与思考》一文中，基于学生在圆面积公式推导中产生的“为什么曲边可以等同于直线”的困惑，将历史上圆面积计算的典型方法融入教学（刘徽的割圆术、阿基米德的细分同心圆、开普勒的分割变形），重构以数学史料为探究载体的学习方式，让学生在方法的选择和理解中感悟极限思想在解决问题过程中的独到价值。

细读这些教学案例，我们会看到HPM融入数学课堂的不同的学习路径，表明HPM在教学实践方面具有广阔的研究空间，为深入研究提供了方向。

三、HPM与数学文化

课程标准对于课堂教学中的数学文化有具体、明确的表述：教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展过程中数学所起的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美，数学的起源与发展史、数学美、数学游戏、数学家与数学、数学工具、数学应用活动等都可以作为课堂教学中数学文化的具体元素。

陈燕、刘雪芳老师在《用诗性课堂品数学文化——以“诗歌中数字的魅力”教学为例》一文中，构建了诗性数学文化课堂，展现了诗歌美、数字美，让学生感受到我国古典文化的博大精深。课堂教学中呈现了诗歌中的“约数”、诗句中的“夸张数”、诗中的概数，整节课诗词文化与数学水乳交融。从知识教学的角度，本节课打破了学生对数字的已有认知；从生活和生命的角度，本节课拓展了数字的内涵与应用，提高了学习的深度。

除了数学与诗歌的结合能让数学“好玩”，在数学文化的领域里还有美丽的黄金分割、奇妙的分形世界、迷人的平面镶嵌、离奇的等宽曲线、出人意料的悖论等等，还可以看到数学与文学、数学与美术、数学与音乐的交融……这样的结合，其目标是帮助学生习得基本的知识技能，更重要的是丰富数学课堂，让学生觉得数学好玩、数学美妙、数学有用，提升学生的数学素养。所以以数学文化为主、脱离数学课本的数学文化课堂正在兴起。

虽然小学一线教师期待能有直接融入数学的史料或者将史料融入教学的“屠龙之技”，但是数学史融入课堂教学发挥育人价值，需要建立在教师自身对数学史知识有丰富储备与理解的基础上，将学术形态的数学史转变为教育形态的数学史。

潘丽云老师在《小学数学教师提升数学史素养的意义与路径——以“竖式乘法”教学为例》一文中提出，教师的数学史素养在知识、史观、能力三个方面的内涵界定是教学实践的指南和教学评价的依据，以“竖式乘法”为例，阐述在数学史料学习、数学史融入教学实践、数学史育人价值的观念形成等方面提升教师数学史素养的具体实施路径。

通读每篇文章，深感每篇文章都充满了作者的智慧和艺术，读者能获得的“营养成分”很高！能用——学以致用，不能用——学以备用！对数学史的研究只有前进时，没有终结时，对数学教育本质的理解将从数学发展的历史中获得启迪。