用改进的直接法求解非线性Possion方程

谢元喜

(湖南理工学院 物理与电子科学学院,湖南 岳阳414006)

0 引言

很多自然现象和规律本质上是非线性的,因此如何求解这些反映自然现象和规律的非线性演化方程就显得尤为重要.目前已有许多学者致力于这方面的研究,并提出一些求解非线性演化方程的方法[1～7].Sirendaoreji和Sun[8]通过引入一个特殊的辅助常微分方程,提出一种求解某些超越非线性演化方程的直接法,并用它求得非线性Possion方程的几个显式精确解.受该文启发,本文通过引入一个一般的辅助常微分方程,对Sirendaoreji和Sun的方法做了一定程度改进,提出一种改进的直接法,并用它求得非线性Possion方程的更多显式精确解.

1 非线性Possion 方程的求解

非线性Possion方程是非线性数学物理中一个十分重要的方程,它在许多数学物理理论以及工程实际中有着非常广泛的应用.其一般形式为

对式(1)做行波变换

可将其化为非线性常微分方程

为便于求解方程(3),Sirendaoreji 和Sun 假设其中的u(ξ)满足如下特殊的辅助常微分方程 并据此求得非线性Possion 方程的几个显式精确解.

为了求得非线性Possion 方程的更多显式精确解,本文将辅助常微分方程(4)修改为以下一般的形式

其中ak(k=0,1,2,…) 和bk(k= 1,2,… )为待定常数,而正整数n可由主项分析法确定.

利用公式

并将式(6)代入式(5),同时结合主项分析法可求得n=1 .于是,式(5)变为

只要求得方程(7)的解,就相当于间接求得方程(1)的解,因此主要任务是求解方程(7).为一般起见,先来寻求方程(7)的一般形式解.利用变量分离法,可求得方程(7)的多种形式的解.

情况 1 当a1=b1=0,a0≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况2 当a0=b1=0,a1≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况3 当a0=a1=0,b1≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况4 当a1=0,a0≠0,b1≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况5 当b1=0,a0≠0,a1≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况6 当a0=0,a1≠0,b1≠ 0时,方程(7)有以下解:

情况7 当a0≠0,a1≠0,b1≠ 0时,方程(7)有以下解:

为了确定方程(7)中的待定常数a0,a1和b1,将式(7)代入式(3),并令式(3)两边的余弦函数和正弦函数的系数相等,可得如下一组非线性代数方程:

求解此代数方程组可得两组解

根据式(8)和式(9),并考虑到情况2 和情况3,可求得非线性Possion 方程(1)的许多显式精确解

其中a1和b1为任意非零实数.显然,式(10)和式(11)与文[8]求得的解完全等价,而其他解则是求得的非线性Possion 方程(1)的新解.

2 结束语

本文通过引入一个一般的辅助常微分方程,对文[8]提出的直接法做了一定程度的改进,提出一种改进的直接法,并用它求得非线性Possion方程的更多显式精确解.进一步工作将推广本方法,用于求解其他超越非线性演化方程.