教学生“带得走”的数学知识——兼评两则《圆的面积》教学设计

文|周卫东（特级教师）

“圆的面积”是“图形与几何”领域中最后一个求平面图形面积的内容。其教学目标一般定位于：了解圆面积的概念，理解和掌握圆面积的计算公式，能正确计算圆的面积；通过剪圆、拼圆等动手操作过程，让学生的直观想象、动手操作、抽象概括能力得到发展；深入理解圆的面积公式，体会图形变化中无限逼近的极限数学思想；了解历史上数学家推导圆面积公式的方法，体会数学知识背后的数学文化，体现数学的应用价值。

仔细阅读两位教师的教学设计，收获颇多。难能可贵的是，方芳老师的设计——《在数学史中启迪数学思想》与王小波老师的设计——《聚焦本质，多元探索》，都能在上述基础性目标达成的前提下，还能着眼学生未来成长的需要，教学生“带得走”的数学知识，尽可能地让基础性目标“增值”。

一、主动学习，享学习“过程”之乐

数学是系统化了的常识（弗赖登塔尔语）。小学数学中很多概念所蕴涵的数学思想是朴素的，基本上都来源于学生的生活经验，有丰富的“生活概念”。理论上说，学生对这些朴素思想的认识应该很容易接受，但为什么学生学习“课本上的数学”就有很多困难呢？一方面，这是由数学的“学科定义”导致的，数学的学科定义高度概括、抽象，不符合小学生的思维水平与认知特点；另一方面是由于教师不恰当的教学设计（例如没有“过程”的教学，不顾及学生的已有“经验”和认知发展水平的教学）导致的。

难能可贵的是，这两则教学设计都能在教学的“过程”上下功夫。

1.经验积累的过程。

“新知识的建构必须来源于已有知识，对这一教学观的合理引申就是教师需要关注学习者在学习给定主题时随之带来的不完整理解、错误观念和对概念的天真解释。教师还需要依据这些概念来帮助每个学生达到更成熟的理解。如果忽视学生的初始概念、观点，他们获得的理解可能与教师预期的想法大相径庭。”（《人是如何学习的》〔美〕约翰·D·布兰思福特）“圆的面积”这一内容相对于平行四边形、三角形、梯形等图形的面积而言，小学生会感到更为抽象、更加难以理解，因此，教学中必须要面向学生的生活实际和理解水平，为他们的经验世界抹上一定的“底色”。两则教学设计都很好地体现了这一点。王小波老师在教学中安排了一个前置性学习，让学生围绕“你能想办法求出圆的面积吗？把你的方法记录下来”“在尝试的过程中，你遇到了什么困难？”两个问题先行尝试和思考，课前学习为课中的交流与分享厚积了宝贵的经验。而方芳老师则在课始设计了一个“感受”性学习环节，出示了半径是4、5、8 的三个圆，请学生数一数、填一填，求出圆的面积大约是正方形面积的几倍，初步形成“圆的面积是正方形面积的3 倍与4 倍之间”的认识，为进一步推导圆面积的公式做好了知识上和思想上的准备。

2.知识理解的过程。

让学生知道“圆的面积”是怎么来的、为什么用πr 来计算，这是本节课的“概念性水平”，是对概念本质的把握。这种理解与把握不是教师告知的，而是在冲突的状态下，因迫切需要产生一种新的方法而形成的。王小波老师在教学中，引导学生在大量的“前经验”的基础上提炼出许多有价值的问题，而这些问题恰恰使学生对概念的本质理解带来了可以依托的“抓手”。“我想到了转化成长方形，因为平行四边形、三角形等图形的面积都是转化成长方形的”“我发现圆是曲线图形，外面的部分没法数。所以我就想，怎么把圆转化成规则图形呢？”“我们分得份数越多，就会越接近一个平行四边形。那这个平行四边形的面积要怎么求呢？底和高分别是什么？”这些核心问题的追问和研究，让圆面积公式的推导“呼之欲出”。方芳老师的教学设计则更加关注了公式的推导过程，让学生在严密的推理过程中领会公式的由来。围绕“转化前的图形和转化后的图形之间有什么联系？”“长为什么等于圆周长的一半？宽为什么是圆的半径？”“长方形的面积用长乘宽计算，那圆的面积该怎么计算呢？”等问题的讨论，将圆面积公式的来龙去脉层层导出，真正使学生既知其然，又知其所以然。

3.知识应用的过程。

在社会对数学的需求越来越强烈的背景下，数学课程改革重视数学应用的教育，势在必行。数学的应用包括内部应用和外部应用，数学的内部应用即运用数学解决本理论或自身在某一领域内的问题；数学的外部应用即应用数学解决生活、生产、科研等方面的实际问题。两则案例都能加强数学的应用。王小波老师的设计加强了数学的外部应用。在课末的练习中，设计了“两个半径1 分米的披萨换一个半径2 分米的披萨合理吗？”引导学生理解“半径扩大2 倍，并不意味着面积就扩大2 倍”这一特殊的规律；而方芳老师则在教学中强化了数学内部的应用，设计了一道选择题：“将一个圆沿半径剪开，平均分成若干个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形”，围绕周长与面积两个维度，让学生对转化后的长方形和圆相比，体会其中“变与不变”的规律。

二、逐渐感悟，品数学“思想”之美

弗利德曼认为，“数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的……数学的各种方法是数学最重要的部分。”显性的知识技能，终究会被慢慢淡忘，而隐性的数学活动经验、数学思想方法，更易于促进终身受益的素养的形成。所以，我们的数学教学要努力从“双基”走向“四基”。而数学思想是对数学知识和数学方法更为精华的概括。

1.有所思考：核心思想的分析。

两位执教者都深谙其道。就圆的面积的计算来说，无论是阿基米德的穷竭法，还是刘徽的割圆，以及开普勒的无限分割，都在设法逼近圆的共同特点，这几个方法间没有质的区别，都把握了圆的面积是以圆半径为边长的正方形面积的3 倍多，有区别的是得到面积计算办法的思考过程。纵观数学发展史，圆的面积计算公式至今没有发生本质的变化，不断变化的是圆面积计算公式的推导方法，从有限分割到无限分割，再到利用定积分的方法。在割裂的历史片断中，每种方法都曾经在一定的历史时期得到推崇，体现出其存在的价值，但在完整的历史长河中，在数学科学丰富发展的大背景中，我们看清“无限分割，化曲为直”才是对后续数学学习最具有价值的，也是我们教学中最应该铺垫的。

2.有所侧重：极限思想的渗透。

在不同的阶段面对不同的学习内容，对同一种数学思想的感悟应该有不同的侧重。圆面积的探索过程可谓是一个思想的“富矿”，蕴含了很多的数学思想方法，比如转化思想、极限思想、化曲为直等等。就平面图形面积计算方法的推导而言，从教学平行四边形面积的计算方法时就提转化，到三角形和梯形的面积计算方法的推导时又提转化，那到圆面积计算，其核心的思想还是转化吗？显然不是。无论是方芳老师的设计还是王小波老师的设计，教学的逻辑主线显然都没有放在圆面积的计算方法，而在于曲边图形向直边图形的转化，教学的重点都放在了体会“随着分割次数的增加、由面变线、由曲化直的数学过程”。都能让学生认识到，无论是把圆转化为平行四边形，还是三角形或梯形，都要体现“把弯曲的部分变成直的”，到“折着折着，弧度就有点变直了”，再到“分的份数越多，每个图形越来越像一条线段，是线的话就没有弧度了”，根据不断细分后拼成图形的变化趋势去想象它们的终极状态，这个无限图形序列的终极状态，也就是无穷系列的极限。

3.有所延展：不同方法的感受。

学生的数学思想与数学思维需要教师适时的“点拨”，两则教学设计都用到了数学史中数学家探索圆面积的故事。特别是方芳老师的设计，别出心裁地用三个数学故事串起了整节课，三则小故事分别对应三个数学家对于圆面积的计算方法的推导过程。刘徽的故事引导学生去探索圆面积和圆周率之间的关系，再在两次实践操作中深入思考刘徽割圆术的原理和可行性，真正调动学生数学思考的能力，发展学生的想象能力；开普勒的“分割变形法”，引导学生从分割变形的角度去进行深入的数学思考，自主探索不同的“变形”方法，让学生的数学思考能力更上一个台阶；最后阿基米德的方法再次激起学生的思考，不断地创新方法，提升思维。每一个数学家的方法中都有明显的数学思想方法痕迹，学生循着这些痕迹进行再想象、再探索，特别是极限思想的贯穿，让所有的学生都能徜徉在极限思想的海洋里，充分想象和创造，深入体会极限思想方法的价值和应用，让学生在对极限思想认识的宽度和深度上都得到拓展。