高中三角函数教学中的整合策略研究*

广东省广州市第四十一中学(510250) 李菊

三角函数章节知识是高中数学学科知识体系中的一项重要的组成部分,也是高考的重点内容之一.三角函数的公式繁多复杂,而且富于变化,学生很难完全理解和融会贯通,教师要从高中数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容和方法,进行必要的补充、精简、调整、统合,实施有效的整合策略,从而建立更加有利于学生学习的数学教学结构,并落实到数学课堂教学中去,高屋建瓴,从联系中寻找解决问题的思路.下面从几个角度谈谈“三角函数”教学整合策略:

1 整合情境创设,培养探究能力

新一轮数学课程改革倡导“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的课程模式,三角函数的相关知识内容,其实与我们的生活都有着密切而广泛的关联,因此教师在进行三角函数的教学时,可以充分应用三角函数生活性的特点,在符合其课堂知识内容的基础上,创设与实际生活密切关联的情境,引导学生主动参与课堂教学之中,良好地感知,产生强烈的探究与求知的欲望.例如:为了将三角函数的图像性质更好地让学生理解,引导学生主动参与学习过程,提升其探究能动性,教师可以在新知识的教学之前,将本节课的知识点内容和实际生活中的问题结合,创设一定的教学情境,设置如下的问题:

假设半径为2 米的风车,每隔12 秒旋转一周,其最低点O距离地面0.5 米,风车圆周上一点A从O开始,其运动t(s)后,与地面的距离设为h(m).那么(1)函数的h=f(t)关系式如何?(2)你能画出函数h=f(t)的图像吗?

在这样的问题教学情境的创设下,加上教师的鼓励性语言,以及生活情境的感触,就会很容易激发学生的学习兴趣,充分发挥其内心想要学习的情感,探究欲望也得到了明显的加强.在充分调动学生学习的积极性、主动性及探究性的情况下,其内在能动性会促使学生积极参与到整体教学活动之中,有利于其分析、解决问题能力和数学问题素养的提高.

2 整合教学过程,提高数学素养

建构主义学习观表明:知识不能简单地由教师或其他人传授给学生,而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构.学习者必须依据自身已有的知识和经验(认知结构)对新的学习内容作出恰当的解释,并应在两者之间加以实质性的、非任意的联系.只有这样,新的学习内容对于主体而言才能真正成为有意义的.这就需要我们把数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机整合,精心设计教学过程,提高学生的数学问题素养和数学观念素养.

如在新课“同角三角函数的基本关系式”里,教科书提出:“根据三角函数的定义,可以讨论同角三角函数间的一些基本关系.由式子可以看出,当时,有又通过x2+y2=r2,可以看出,1.”然后再举例说明关系式在求值、三角函数恒等式证明中的应用.虽然这样做可以非常快捷地把知识教给学生,但总让人感觉到有把学生当成“知识容器”之嫌.另外具有独立探索精神的学生也许会提出疑问:怎么会想到要讨论这些基本关系的?显然,这些疑问是学生认识事物的内部规律时必然会产生的,是学生从知识发生发展过程、知识之间的相互联系性去认识知识的必然产物.如果漠视这些思想,不但会失去一次极好的思想教育机会,还会使教学变得呆板机械,降低课堂教学质量.因此,教师必须根据学生可能产生的疑问,对教学进行整合设计.例如,教师可以结合“基本关系式”的作用来设计教学情境,安排“再发现”过程.

教师按照学生的认识规律和不同知识内容的发生发展规律整合“两个过程”,课堂教学中放手让学生自己去独立实践和思考.这种设计,着重于知识的发展发生过程,利用了基本关系式不同的表现形式,使学生感到教学内容不是从天而降,对教学过程做到心中有数,而且还使学生从中体验到数学研究的思想方法,其中包含了试验、猜想、联想、类比、推理等.这些正是通过教学过程的整合以培养学生的独立思考能力、创造精神和探索新知识的能力以及数学观念的最好体现.

3 整合信息技术,扩大思维空间

在《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中提出了“信息技术对教育发展具有革命性影响”的观点.但是在信息技术用于数学教学方面,全国目前仍处于“初级阶段”,离信息化社会发展的要求尚有较大的距离.有了信息技术工具,运算技能较弱的学生也可以进一步学习数学.信息技术也可以促进教学内容的变革,可以增加与“脑力劳动”相关的内容,让学生有更多的时间用于理解数学本质,更有效地培养学生的想象力和创造力.

随着科技的不断发展与进步,科技产品给课堂教学带来了更多的便捷.例如模拟匀速圆周运动的过程而明确其中的常量、变量及其相互关系,作函数y=Asin(ωx+ψ)的图像和讨论参数“A,ω,ψ的变化对函数的影响”都是新课教学的难点,而信息技术为化解这些难点提供了条件.借助信息技术,不仅能方便地展示匀速圆周运动的过程,而且可以通过有意识的控制,帮助学生观察影响运动的要素及其关系;不仅使“画图象”变得简单,而且参数“A,ω,ψ的变化导致图像变化的规律也很容易发现.进一步利用信息技术展示y=sin(ωx+ψ)+b的图像变换,两种不同方法对应的两种变化过程,能使学生更好地理解和掌握这两种情况下平移量不同这一个难点,使学生真正了解数学的价值.这种数与形之间的转化与渗透通过信息技术展现出来,使得繁杂的数学变得生动趣味,充满活力.信息技术在发现规律、获得猜想、解决问题、交流想法和展示成果等方面发挥了很大的作用.

4 整合知识脉络,构建知识框架

三角函数的题型虽然千变万化,但万变不离其宗,变来变去无非都是围绕着三角函数的本质展开变形的,而且三角函数的公式形式多变,种类繁多,学生很难熟记每一个公式,也容易混淆各个公式之间的联系.因此三角函数的教学中,教师必须持有整体观念,将三角函数置于更宽阔的知识框架中,把三角函数的内容、题型进行整合复习,灵活运用多样化的教学方法,结合新课标的要求和学生的学习认知特点,创新改组教学方案,使学生更加全面、具体地对三角函数的概念与知识形成良好的脉络建构.我们可以将三角函数各部分知识、三角函数与其他章节的知识进行横向、纵向的整合归纳,促进学生不断积累、运用基本数学活动经验的过程,提高学生的数学技能素养和方法素养.

例如:复习三角函数同角三角函数关系的平方和关系sin2α+cos2α=1 和商的关系时可以分解成几个考点,而不应仅仅就两个公式,干巴巴的.教学时,可以这样围绕这两个公式设计以下几个问题:

考点一:知一求二,即知道三角函数sinα,cosα,tanα的其中一个可以求另外两个.

考点二:知一求二,即知道三角函数sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα的其中一个可以求另外两个.

考点三:齐次分式,齐次分式就是把三角函数的式子化成相同指数幂的分数形式.

练习3:已知tanα=2,求的值.

说明:可以用知一求二,由tanα=2 求出sinα和cosα的值,但计算量较大,注意到分式里每个数都是一次幂,可以利用商的关系每一个项都除以cosα.

变式一:已知tanα=2,求的值.

说明:分式里每一项的指数是2,所以每一项都除以cos2α.

变式二:已知tanα=2,求sinαcosα的值.

说明:要求的sinαcosα不是分式,但注意到它属于二次幂,可以这样变式从而变成上面变式一的形式了.

上面三个练习和变式很好体现了整合策略的重要性,构建不同的知识结构能简化学生的运算,从而提高学生的解题能力和速度.

另一方面,在高考三角函数题目中,三角函数还经常与其他章节内容综合来考.所以我们要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.如三角函数与平面向量综合题的融合,三角函数与解三角形的热点题型,解三角中的几何计算等等,通过整合知识脉络,构建知识框架,能够帮助学生构建更完整的知识框架,简化数学问题,快速寻找到问题解决方法,全面激活学生数学思维.

总而言之,三角函数知识作为高中数学知识体系的重要构成部分,在新课程改革与素质教育理念的指导下,高度重视学生在三角函数学习时遇到的问题和难点,整合出科学有效的三角函数教学内容与策略,对提高高中数学的教学效率与质量都有十分重要的现实意义.