对一个向量恒等式的反思

杨贵武

(广东省深圳市高级中学 518040)

近年来，用向量研究三角形“五心”的文章比较多.而研究勃罗卡点，特别是生成向量恒等式的，却很少.《数学通报》刊发的《一个奇妙的向量恒等式》[1]一文，介绍了下面恒等式，并加以证明，同时给出了该恒等式的若干应用.

图1

如图1，已知P是△ABC内部一点,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称α为勃罗卡角,点P为勃罗卡点，则有

文[1]证明上述恒等式用到两个不常见的引理.能否不用引理，直接证明上述恒等式？另外，能否基于该恒等式，得到更多的结论.一直思考却没有突破,直到《数学通报》连载了张景中院士和彭翕成博士关于点几何的论文[2～4]，让笔者获益匪浅，茅塞顿开.

简单地说，可以将点几何理解成向量的简写版本.

=(A-B)·(A-C).

于是

=(A-B)·(A-P)+(B-C)·(B-P)+(C-A)·(C-P)

=A2+B2+C2-A·B-B·C-C·A.

而

=(A-B)·(A-C)+(B-C)·(B-A)+(C-A)·(C-B)

=A2+B2+C2-A·B-B·C-C·A.

如果不习惯点几何这种记号，也容易改成向量形式，即

下面给出该恒等式的几点应用.

应用1如图1，设点P是勃罗卡点，则cotα=cotA+cotB+cotC.

=2S△ABPcotα+2S△BCPcotα+2S△CAPcotα

=2cotα(S△ABP+S△BCP+S△CAP)

=2S△ABCcotα；

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

=2S△ABC(cotA+cotB+cotC)；

根据恒等式①可得

2S△ABCcotα=2S△ABC(cotA+cotB+cotC)，即cotα=cotA+cotB+cotC.

应用2如图2，设点P是内心，则

=(a+b+c)(cotA+cotB+cotC).

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根据内心的性质可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC=c:a:b:(a+b+c)，

结合恒等式①可得

=(a+b+c)(cotA+cotB+cotC).

图2

图3

应用3如图3，设点P是垂心，则

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

=2S△ABPtanB+2S△BCPtanC+2S△CAPtanA；

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根据垂心的性质可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC

=tanC:tanA:tanB:(tanA+tanB+tanC)，

结合恒等式①可得

tanCtanB+tanAtanC+tanBtanA

=(tanA+tanB+tanC)(cotA+cotB+cotC)，

即 cotA+cotB+cotC

推出经典恒等式

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

图4

应用4如图4，设点P是外心，则2(sin2A+sin2B+sin2C)=(sin2A+sin2B+sin2C)(cotA+cotB+cotC).

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根据外心的性质可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC

=sin2C:sin2A:sin2B:(sin2A+sin2B+sin2C)，

结合恒等式①可得

tanAsin2A+tanBsin2B+tanCsin2C

=2(sin2A+sin2B+sin2C)

=(sin2A+sin2B+sin2C)(cotA+cotB+cotC).

应用2-4所得三角恒等式，虽然是在P取某些特殊位置时得到，但容易验证，这些结论的成立与P无关，是恒等式.至此我们就从一个向量恒等式出发，探索得到了一些新的三角恒等式，完成了一次有意义的探索之旅.