算术——几何均值不等式的一个隔离

冯文娟 郭要红

(安徽师范大学数学与统计学院 241000)

1 引言

本文的起源是《数学通报》每期问题系列的问题2564.

问题2564[1]在△ABC中，设△ABC的三边长分别为a,b,c，则有

(1)

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.

《数学通报》2020年第10期刊登了问题设计者提供的解答.[2]在寻求问题的其他证明途径时，我们发现(1)式成立的条件无需a,b,c是△ABC的三边长，条件可以放宽为“a,b,c是正实数”，即有

定理1设a,b,c>0，则

(2)

等号当且仅当a=b=c时成立.

从项数与指数入手，(2)式可推广为

定理2设ai>0(i=1,2,…,n)，则

(3)

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

2 引理与结论的证明

2.1 一个引理

为证明主要结论，先引入一个引理.

2.2 结论的证明

(3)式证明由引理知，对xi>0(i=1,2,…,n-1)，有

(4)

等号当且仅当x1=x2=…=xn-1时成立.

(均值不等式)

(根据(4)式)

即

同理可得

……

将上述n个不等式相加，得

由均值不等式与(4)式等号成立的条件知，(3)式等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

(3)式得证.

在(3)式中，取n=3即得(2)式，所以(2)式成立.

3 讨论

3.1 (1)式与(2)式等价

3.2 算术—几何均值不等式的一个隔离

由二元均值不等式，有

≥a·bc+b·ca+c·ab=3abc.

于是，我们得到三元算术—几何均值不等式的一个隔离.

定理3设a,b,c>0，则

等号当且仅当a=b=c时成立.

同理，可以得到n元算术—几何均值不等式的一个隔离.

定理4设ai>0(i=1,2,…,n)，则

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.