单位圆内接三角形等周问题的初等证明

巢中俊

(四川省成都市第七中学 610041)

1 问题背景

给定周长的平面区域中,圆盘的面积最大.这一经典等周不等式为古希腊人所熟知,但直到19世纪,Edler[3]在Steiner[6]的基础上才给出了一个完整的证明.之后还有简单证明[8]及各式各样的变体[1][2].特别是带约束的等周问题,如Blaschke-Lebesgue问题[4][5][9]就是带约束的等周问题,Blaschke-Lebesgue型问题[7][12]亦是如此.

本文研究的问题是：周长为定值且内接于单位圆的所有三角形中,谁具有最大面积?又是谁具有最小面积?

下面将给出这个问题的完整结论及一个简洁且初等的证明.

2 问题的结论

3 两个函数的基本性质

4 问题的转化化归

图1

≤(1+h)2⟺p(h)≥0，

(1)

于是我们的问题转化化归为求单变量函数(参数

下面我们求解这个单变量函数问题,即给出定理的证明.

5 定理的证明

临泽县制种玉米膜下滴灌与常规大水漫灌对比试验中，膜下滴灌处理的株高和穗位高均低于常规处理，穗长为14.5 cm，较常规处理增加0.6 cm；秃尖长为0.8 cm，较常规处理减少0.3 cm；穗行数和行粒数分别为14.49行和19.1粒，分别较常规处理增加0.29行和0.9粒；千粒重为335.9 g，较常规处理增加10.8 g。膜下滴灌折合产量（鲜穗）为14 502 kg/hm2，较常规处理增加1 395 kg/hm2，增产率为10.64%。

(3)

同时p(h)≥0即为h1≤h≤h2.于是(2)此时为

对(4)取自然对数后再求导得

(5)

(6)

(7)

S(h)的图象如图2.

图2

(8)

(9)

结合引理1及(8)(9),我们有

引理3△ABC与△A′B′C′是全等的等腰三角形.

证明记h=h1对应的三角形为△ABC,如图1,由(1)(3)知点B在y轴正半轴上,于是△ABC为等腰三角形,又(3)中的p(h1)=0,即

(10)

结合引理1及(10)得

|A′C′|=|BA|.

(11)

注意到△ABC与△A′B′C′的周长均为2l,于是(11)也即

|BC|+|AC|=|A′B′|+|C′B′|.

(12)

由引理2知△ABC与△A′B′C′的面积相等,

结合(11)得|BC||AC|=|A′B′||C′B′|.

(13)

由(12)(13)得|BC|,|AC|与|A′B′|,|C′B′|分别对应相等.所以△ABC≌△C′A′B′.又因为(10),所以△ABC与△A′B′C′是全等的等腰三角形.

5.3 0

又

且p(-1)=-l<0,p(1)=2-l≥0,

(14)

对(14)同样有(5),

图3

这就完成了定理的③证明.至此就完成了定理的全部证明.

6 定理的直观认识

图4