测电源电动势和内阻实验误差分析及拓展

谢雯婷 唐柏忠

[摘 要]测定电源电动势和内阻是高中物理的重要实验，其误差分析是教学难点。文章用数学计算法、图像修正法、数形结合法、等效替代法分别进行误差分析，通过比较又进行了教学拓展，并着重介绍数形结合法解决物理问题。

[关键词]误差分析;内接法;外接法;数形结合

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0059-02

一、教学背景

2020年浙江省7月选考电学实验题（已简化）：某同学分别用图1甲和图1乙的电路测量同一节干电池的电动势和内阻。

（1）实验得到如图2所示的两条[U-I]图线，图中直线Ⅰ对应电路是图1           （选填“甲”或“乙”）。

（2）该电池的电动势           V（保留三位有效数字），内阻           Ω（保留两位有效数字）。

本题不仅考查了学生对测电源电动势和内阻实验的方法、原理及图像处理方法的掌握情况，而且检验了学生的误差分析能力。那么如何进行误差分析呢？本文用数学计算法、图像修正法、数形结合法、等效替代法，分别分析电流表内接和外接时对电动势和内阻测量结果造成的系统误差，并进行方法拓展。

二、误差分析

图1甲为内接法测量电路，图1乙为外接法测量电路。若不考虑电表电阻的影响，假设测量的两组数据为（[U1， I1]）、（[U2， I2]），根据闭合电路欧姆定律列方程为：[E测=U1+I1r测]，[E测=U2+I2r测]①解得：[E测=（I1U2-I2U1）（I1-I2）]，[r测=（U2-U1）（I1-I2）]

（一）数学计算法

1.采用内接法测量，考虑电流表和电压表的内阻，干路电流准确，路端电压由于电流表的分压而偏小，对两次测量值进行修正，真实的路端电压分别为：[U′1=U1+I1RA]，[U′2=U2+I2RA]。方程组①修正为：[E真=U1+I1RA+I1r真]，[E真=U2+I2RA+I2r真] ②

解得：[E真=I1U2-I2U1I1-I2=E测]，[r真=U1-U2I2-I1-RA=r测-RA]

于是得到：[E测=E真]，[r测=r真+RA]，测量值为[r]与[RA]的串联电阻，由此判断[E测]准确，[r测]偏大。

2.采用外接法，考虑电流表和电压表的内阻，路端电压准确，干路电流由于电压表分流作用偏小。对两次测量值进行修正，真实的干路电流分别为：

[I′1=I1+U1RV]，[I′2=I2+U2RV]，这样方程组①修正为：

[E真=U1+I′1r真]，[E真=U2+I′2r真] ③

类比方程①可解得：

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2]，[r真=U2-U1I′1-I′2]

[r真=U2-U1I′1-I′2=U2-U1I1-I2-U2-U1RV=r测RVRV-r测]

于是得到：[r测=RVr真RV+r真]，測量值为[r]与[RV]的并联电阻，由此判断[r测]偏小。

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2=I1+U1RVU2-I2+U2RVU1I1+U1RV-I2-U2RV]

[I1U2-I2U1I1-I2-（U2RV-U1RV）=E测1-r测RV=E测·RVRV-r测]

于是得到：[E测=（RV-r测）E真RV]，

将[r测=RV r真（RV+r真）]代入可得：[E测=] [RVE真（RV+r真）]，由此判断[E测]偏小。

（二）图像修正法

利用伏安法测量电源电动势和内阻，其路端电压和电流的关系为[U=E-Ir]，其[U-I]图像的[U]轴截距代表电动势，直线斜率的绝对值代表内阻。

1.采用内接法测量，电流准确，由于电流表的分压引起路端电压测量值偏小，真实电压为[U真=U+IRA]，由此对图像进行修正：在同一[U-I]图中，对应同一电流值，电压真实值对应在实验数据点的上方，比测量值大[IRA]。电流[I]越小，需修正的[IRA]越小，当电流为0时，修正的[IRA]也为零，电压的真实值与实验值重合。可得到修正后的真实图线与实验图线如图3中a与b所示。对比截距和斜率可得：[E测]准确，[r测]偏大。

2.采用外接法，路端电压准确，由于电压表的分流，测量的总电流偏小，真实值为[I真=I+URV]，由此对图像进行修正：在同一[U-I]图中，对应同一电压值，电流真实值对应在实验数据点的右方，比测量值大[URV]。路端电压越小，需修正的[URV]越小，当路端电压接近0时，修正的[URV]也为零，真实值与实验值重合。可得到修正后的真实图线与实验图线如图3中a与c所示。对比截距和斜率可得：[E测]偏小，[r测]偏小。

（三）数形结合法

1.采用内接法测量，路端电压与电流的关系：[U真=E真-Ir真]，由于电流表分压，故有[U真=U+IRA]，代入并化简可得：[U=E真-（r真+RA）⋅I]。结合[U-I]图像可得，纵轴截距代表测量的电动势[E测]，斜率的绝对值代表测量的内阻[r测]，即[E测=E真]，[r测=r真+RA]，由此判断[E测]准确，[r测]偏大。

2.采用外接法测量，路端电压与电流的关系是：[U=E真-I真r真]，由于电压表分流，故有[I真=I+URV]，代入可得：[U=E真-（I+URV）⋅r真]，化为[U-I]关系则有：[U=RVRV+r真E真-RV⋅r真RV+r真I]，结合[U-I]图像可得，纵轴截距代表测量的电动势[E测]，斜率的绝对值代表测量的内阻[r测]，即[E测=RVRV+r真E真];[r测=RVRV+r真r真]，由此判断[E测]偏小，[r测]偏小。

（四）等效替代法

闭合回路欧姆定律[E=U+Ir]中，[I]是流过电源的总电流，[U]是路端电压。我们可以从电路中取一个等效电源，得到[E测=E等效]，[r测=r等效]。

1.采用内接法测量，电流表测得的总电流准确，由于电流表的分压，路端电压的测量值偏小。若把电压表测得的电压看作路端电压，就相当于把电流表当成电源内部，电流表和电源等效为一个新的电源（图1甲中虚线框内），所以测得的内阻是电源内阻和电流表电阻的串联电阻。可得[E测=E]，[r测=r+rA]，由此判断[E测]准确，[r测]偏大。

2.采用外接法测量，路端电压准确，由于电压表的分流，总电流的测量值偏小。若把电流表测得电流看作总电流，就相当于把电压表当成了电源内部，电压表和电源等效为一个新的电源（图1乙中虚线框内），所以测得的内阻是电源内阻和电压表电阻的并联电阻。可得[E测=Uab=IRV=RVRV+rE]，[r测=RV⋅rRV+r]，由此判断[E测]偏小，[r测]偏小。

三、总结拓展

四种方法中，数学计算法计算繁杂、费时;图像修正法简洁明了，但只能定性分析，不能定量讨论;等效替代法结论简洁，但学生理解起来有一定难度;数形结合法思想方法简洁明了，简明易懂。数形结合法在其他方法測定电源电动势和内阻中也有很好的表现。

例题：有两个电学元件，电阻箱R和手机中的锂电池（电动势[E]标称值为3.7 V，允许最大放电电流为100 mA）。为测量锂电池的电动势E和内阻r，设计了如图4所示的电路图。根据测量数据作出[1U-1R]图像，如图5所示。若该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则该锂电池的电动势[E=]         ，内阻[r=]         （用k、b和R表示）。

解析：由闭合电路欧姆定律得：[E=U+Ir=U+URr]，变形整理得：[1U=rE⋅1R+1E]，由[y=kx+b]可得：[k=rE]，[b=1E]，故电源电动势[E=1b]，电源内阻[r=kE=kb]。

综上所述，在遇到类似的问题时，用数形结合法进行处理简明易懂，只需结合题中的待测量列出合适的函数关系，找到函数图像的斜率、截距等与待测量的关系，问题就迎刃而解了。

上述分析问题的思路，从学生实际出发，不仅有助于加深学生对物理规律的理解，同时还有利于培养学生的科学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

[   参   考   文   献   ]

[1]  李莉，徐发林.巧用“图像法”分析物理实验误差：以“测电源电动势和内阻”实验误差分析为例[J].中学物理教学参考，2019，48（12）：88-89

[2]  潘华君.再议“测定电池的电动势和内阻”的误差分析和优化设计[J].中学物理教学参考，2012（10）：29-30.

[3]  刘宗涛.席明纳模式下高三物理复习课课堂实践及探索：以“测定电源电动势和内阻实验系统误差分析”为例[J].物理教学，2019，41（1）：17-19.

[4]  吴志山.用DIS探究“测定电池电动势和内阻”实验问题[J].物理教师，2013，34（6）：66-68，71.

（责任编辑 易志毅）