坚持合理导向 考查几何本质

钱冯良

[摘 要]有关图形变换的平面几何试题主要基于核心素养进行命题，突出考查平面几何的主要知识，关注知识点的融合，着重培养学生的数学核心素养.文章以一道模拟试题为例，从试题评价显素养、试题多解展思维、试题导向促教学三个方面进行深度剖析.

[关键词]平面几何;核心素养;模拟考试

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0029-02

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中明确给出了核心素养的概念：学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.有关图形变换的平面几何试题主要基于核心素养进行命题，对几何教学中教师培养学生的数学核心素养有很好的导向作用. 本文以一道模拟试题为例进行解析，品味其中的内涵，并从中获得教学启示.

【题目】如图1，菱形[ABCD]中，点[E]，[F]分别在边[AB]，[BC]上.将菱形沿[EF]折叠，点[B]恰好落在边[AD]上的点[G]处.若[∠B=45°]，[AE=2]，[BE=22]，则[tan∠EFG]的值是                .

一、试题评价显素养

本题表面是在求三角函数值，实际上聚焦的是特殊平行四边形的折叠问题，方法是常用方法，体现对通用通法的考查.本题不仅注重折叠问题的基本知识和基本技能（几何应用）的考查，而且着重考查学生思维的灵活性和创新性，要求学生灵活应用所学知识和数学思想方法（数形结合思想、方程思想、转化思想等）来解决问题，最需要的是学生根据以往的基本活动经验，类比之前的研究方法.这些就是新课标下数学考查素养评价的体现，可引导教师更好地培养和发展学生的数学素养.

本题考查了菱形、相似、全等、勾股定理、图形变换等核心知识与基本技能.在解决问题的过程中，学生尝试寻找基本图形，借助相似或者勾股定理求线段长度，从而发展数感、符号意识、几何直观、运算能力等核心素养.

二、试题多解展思维

著名数学家和教育家波利亚曾指出：“沿着不同的方向去思考，重组眼前的信息和记忆系统中的信息，寻求思维的多向性.它避免了考虑问题的单一性，使思维不至于僵化.” 本题中求的是[tan∠EFG]的值，也就是求某个直角三角形两条直角边的比，即求线段的长度.如何多角度地转化求解需要的线段，就成为本题的关键.本题可作[HI]垂直[BC]于点[I]，交[DA]延长线于点[H]（如图2），把求[tan∠EFG]的值先变为求[tan∠EFI]的值，可得到[AH=EH=1]，[EI=BI=2]，[HG=7]，这样一来就需要求出[IF]，可设[IF=x].

1.折叠还原构勾股

在折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到或者构造相应的直角三角形，利用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题.

如图2，作GK ⊥ BC，构造Rt△GKF，因为[IF=x]，则[GF=BF=2+x]，因为[GK2+FK2=GF2]，所以[32+（7-x）2=（2+x）2]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

2.折疊转化构等腰

折叠问题中常常出现“角平分线+平行线→等腰三角形”的情况，即折叠加上平行线会出现等腰三角形.本题是菱形背景的折叠问题，我们应马上想到这个基本原理，去寻找相关等腰三角形.

如图3，延长[DA]和[FE]，交于点[J].因为折叠，所以[∠EFB=∠EFG]，又因为[AD∥BC]，所以[∠GJF=∠EFB]，推出[∠GJF=∠EFG]，从而得到等腰[△GJF]，[GJ=GF]. 因为[IF=x]，则[GF=BF=2+x]，[JH=0.5x]，可得[0.5x+7=2+x]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

3.垂直平分构相似

折叠问题中利用“折痕垂直平分对应点所连线段”这一重要结论，构造相似三角形.

如图4，连接[BG]交[HI]于点[O]，[Rt△HOG∽Rt△IOB]，所以[HOIO=HGIB]，设[IO=x]，则[HO=3-x]，所以[3-xx=72]，[x=27-4]，而利用同角的余角相等，所以[tan∠EFG=tan∠EFI= tan∠BOI=227-4=7+23].

4.合理切换，图形分割构等积

在研究问题的过程中，如果从面积的角度审视一些图形关系，通过面积的数量关系转化图形，借助对称进行剪拼、利用平行线等实现等积变换图形，往往可取得事半功倍的效果.

本题中[△BEF]和[△AEG]的底和高都能表示，而[△GEF]是[△BEF]折叠得到的，同时梯形[AGFB]的上下底和高也能表示，所以可以适当地往面积相等的方向转化.

如图5可以得到[S梯形AGFB=S△BEF+S△GEF+S△AEG]，[S△BEF=12BF×EI=12×2+x×2=2+x]，[S△AEG=12AG×EH=12×7-1×1=12×7-1]，[S梯形AGFB=] [AG+BF×IH2=7-1+2+x×32]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

5.数形结合，由形转数构坐标

数形结合作为一种重要的思想方法，渗透在新教材中.而平面直角坐标系作为数学研究的一种重要工具，它更是数形结合思想的重要体现.可是在新教材中，坐标系侧重于数结合形解决代数问题，而形结合数解决几何题则较少涉及.而实际做题和教学中，我们也把形结合数作为重点引导方向.

本题中，如图6，以点[B]为原点，以[BC]所在直线为[x]轴，过点[B]的垂线为[y]轴.连接[BG]， 可求出点[B（0， 0）]，[ G（2+7，3）]，[E（2， 2）] ，则可求出一次函数[BG]：[y=32+7x]，因为[BG⊥EF]，易得一次函数[EF]：[y=-2+73x+10+273]，则求得点[F（27-2， 0）]，[BI=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

通过上面的解答，可以看到在固定形状和大小的几何图形中进行证明或计算，利用平面坐标系可以充分体现利用数形结合法解题的优越性，使学生加深对平面直角坐标系的理解，增强学生学习数学的兴趣，同时也为学生以后更好地学习解析几何打下基础.

三、试题导向促教学

1.加强解题反思，探究题目本质

几何的综合题难度往往比较大，但也有相应的解题方法.在日常教学中，教师应引导学生深入探究题目的本质特征，而不是一味地去刷题.当遇到同一类问题时，应反思其中的异同点，寻求通性通法.在几何专题课中，多采用“多题一课”“一题一课”进行教学，尝试“一题多解”“多解归一”，在原题的基础上进行适当的拓展，积累处理障碍的技巧和方法.

对于几何中的折叠问题，它的变换性给学生带来了困难，当然其变换的过程中也有不变的量，这是我们解决折叠问题的切入点，抓住其中隐含的信息是关键.如本题，折叠的背后一定隐含着对称性、角平分线，甚至有相似三角形和等腰三角形等.

2.注重思维发展，运用几何意识

章建跃博士说：“几何意识就是要善于学会类比学习，学会迁移知识，联系相关的要素.”教师要善于教会学生在“做”与“思考”的过程中逐步积累几何知识，逐步树立几何意识.教师要引导学生运用数学的知识、方法和思想去分析问题，从不同的角度剖析数学现象和规律，逐步提高学生的思维水平和思维能力.讓学生由“单向思维”往“多向、逆向思维”上转变.对于几何问题，学生用不同的解题思路，从发散的思维角度去思考，就是思维发展的重要标志.本题中从多个角度去解题，从数、形角度认识几何，通过这样的操作势必会让学生学会“创造数学”，真正感悟几何本质.

3.关注核心素养，加强识图教学

几何直观是核心素养之一.认识几何基本图形是解决几何问题的突破口.在平时的教学中，教师需要注重对一些典型试题的几何图形进行挖掘，有意识地强化学生对基本图形的积累，从而增强学生的识图能力.

在实际教学中，教师要舍得花时间让学生思考、积累和总结基本图形，在复杂图形中发现基本图形，特别是发现这些图形所拥有的“共同要素”，并进一步得到相应的位置关系或数量关系，这是识图的基本方法，更是培养学生几何直观素养的一个重要落脚点.

[   参   考   文   献   ]

[1]  章建跃.中学数学核心内容教学设计的理论与实践[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]  罗增儒.指向素养教学的课堂研训[J].中学数学教学参考，2018（7）：11-22.

[3]  齐欣.注重一题多解与多变，促进学生数学有效学习[J].数理化学习（初中版），2017（9）：33-36.

（责任编辑 陈 昕）