2021年浙江省高中数学竞赛解析几何题的求解与模型探究

吴 江 (浙江省杭州市交通职业高级中学 310011)

本文对2021年浙江省高中数学竞赛的解析几何题进行分析，探究不同的解法，挖掘其背后的模型，得到若干结论．

1 试题呈现

(1)求CA+CB的最大值；

(2)若直线y=kx+1与x轴、y轴分别交于点M,N，且以MN为直径的圆与线段MN的垂直平分线的交点在椭圆内部(包括在边界上)，求实数k的取值范围．

分析 第(1)题结合椭圆的第二定义，联立方程，运用韦达定理，用k表示出CA，CB，最后求最值.思路明确，难度不大．

第(2)题求范围，不等式是常用代数方法，显然不等式来源于交点在椭圆内部，因此解决交点是关键一步.最容易想到的是联立方程求交点，那么就要先用k表示出圆和中垂线的方程，过程和方向明确．此外，两个交点可以看作是由点N绕圆心旋转得到，因此可以由旋转关系得到交点坐标，再结合椭圆方程建立不等式．另一方面，容易看出点N是定点，点M在x轴上的位置决定了交点位置，所以可以分析图形的变化规律，把握交点在椭圆边界上时的临界状态，求出此时k的值，进而确定k的取值范围．

2 解法探究

评析联立方程求出交点，其中涉及化简、因式分解等过程，对学生的运算能力提出了一定要求，包括最后解不等式，代数运算贯穿整个过程，主要思路为“见招拆招”，这也是解析几何思想的体现．

即得(*).下同解法1．

评析运用复数三角表示是处理旋转问题的一种方法，前提是要理解复数乘法的几何意义：对于复数z=x+yi，复数z(cosθ+i sinθ)表示在复平面上将复数z绕原点逆时针旋转θ角后得到的复数．

评析对k<0和k>0进行分类讨论，交点在椭圆上是临界情况，结合图形计算此时k的取值就能求出范围，体现了“以形助数”；而分析得交点在定直线上，体现了“以数解形”.因此，数形结合体现了“多想少算”．

3 模型探究

上述问题的关键是以MN为直径的圆与线段MN的中垂线的交点，现将直线一般化，中垂线变为垂足在线段MN上的任一垂线．如图1，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点M,N，以MN为直径的圆(E为圆心)与垂足在线段MN上的任一垂线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，设∠NEP=∠NEQ=θ(0≤θ≤180°)，则关于交点P,Q，有如下结论．

图1

在原问题中，两交点在两定直线上，现有一般结论．

图2

通过上述分析，可以看出原问题是b=1，θ=90°的情况，因此可以将原问题中线段MN的中垂线改为线段ME的中垂线(θ=120°)，也可以改为线段NE的中垂线(θ=60°)，由模型中变量的改变得到一些变式问题．

4 感悟反思

(1)解题重方法

教师在解题教学过程中要注重基本思想和基本方法的渗透，不能让学生陷入“题海战术”．适度的解题训练要以理解为前提，并注重思维的创新和发散，重在体会解题方法背后的数学思想．数学思想指导解题方法，不同的方法在运算量上存在差异，因此数学运算过程要讲究策略和优化，尤其在解析几何问题中，应多考虑数形结合，多想少算.解题能力的提升是建立在扎实的“思想”和“方法”之上的．

(2)知识重本质

教材是最基本、最具价值的教学参考依据来源，因此师生要对课本中出现过的内容引起重视．例如上述坐标(向量)旋转公式是在课本的课后练习中给出的，这是教师引导学生探究的一个很好的切入点，学生可以用向量和三角公式的知识对其进行证明．教师要用好课本、理解教材，让学生理解知识的本质，例如复数的乘法，不仅要让学生掌握运算法则，更要理解复数相乘的几何意义.只有对知识的本质理解透彻，才能实现对知识的活用．