数学概念教学中运用数学史的教学设计与反思——以“数系的扩充与复数的引入”为例

邹泗勇 (浙江省杭州市长河高级中学 310052)

1 教学背景

近年来，数学史的运用成为中学数学教育教学开发的一个热点．根据孔德(A.Comte,1798—1857)和斯宾塞(H.Spencer,1820—1903)的理论：“个体知识的发生遵循人类知识的发生过程．困扰世界的东西也会困扰儿童，学生的学习困难具有历史的相似性．”所以，课堂上结合数学史，不仅有利于学生对数学概念的理解，也能活跃课堂气氛激发学习兴趣．另一方面，数学核心素养的培养离不开数学发展的时间轴，数学概念具有丰富的维度，数学概念的传授尽可能要联系这个概念的来龙去脉，特别要重视这个概念的历史，从历史的发展过程去学习这个概念，才能理解数学概念的本质，更利于达成“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界”．

新高一采用的人教A版教材(2019年版)特别强调数学史的运用，笔者认为，这非常符合培育数学核心素养的要求．在《复数》章节，教材和教参都在强调：“要适当地介绍历史史实，让学生感受理性精神．”章建跃教授也撰文称：“在复数的教学中，通过介绍复数的发展历史，让学生感受数学文化和精神，理解复数的概念和意义，应该成为重点．”结合这些精神，笔者进行了尝试．

2 教学设想

复数的教学重点是要让学生体会引入虚数i的必要性、合理性，以期建立理性思维．把这个概念“粗暴式”“填鸭式”地给学生，势必会阻碍学生对虚数i的理解．教参给本章内容分配了8课时，其中复数的概念2课时，本节课是第1课时，主要是引入虚数的概念．对于i的引入，一定要让学生感知其必要性和合理性．数系的扩充不能盲目进行，必须有一定之规．所以，本课时从历史上通过解方程发现虚数i的过程，让学生感受到虚数i的产生自然又合理．结合从有理数扩充到实数时体现的“规则”，即：数系扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．类比从有理数系扩充到实数系的过程和方法，对实数系进行进一步扩充，将实数系扩充到复数系．通过这个过程，体现数系扩充过程中理性思维的作用，提升学生的逻辑推理素养．

3 教学设计

3.1 再现历史，创设情境，诱发认知冲突

我们知道，很早的时候，人们就会求解方程了.早在公元前1600年前，尼罗河畔的古埃及，就记录了一元一次和一元二次方程问题．古希腊著名数学家丢番图(约公元200年—284年)就是一个解方程的高手，不管是一次方程还是二次方程，他都能熟练地求解．我国西汉的张仓整理编撰了《九章算术》，在其《少广章》中就能用算筹计算形如x2+460x=2 325这类方程.可见，我国对一元二次方程求解技巧的掌握也是很早的．

我们来看看一千多年前的丢番图是如何解一元二次方程的．

丢番图的这个解法不是他首创的，而是来源于更古老的古巴比伦，所以后人给丢番图起了个“盛开的古巴比伦之花”的名号．

设计意图通过对历史上中外解方程的回顾，让学生了解世界数学文明，了解我国古代灿烂的数学成就，增加民族自豪感，渗入爱国主义教育．

师：对丢番图的解法，有两个问题：(1)丢番图为什么不用求根公式？(2)丢番图解出的根有两种情况是要舍去的，一是负根，二是误差的被开方数小于0．对此，请同学们发表自己的意见．

生1：他觉得自己这个解法更好．

生2：他还不会用求根公式．

师：对的，求根公式的熟练使用要到公元9世纪的阿拉伯数学家花拉子密．

生3：负数可能不符合题目意思，所以他要舍去，而被开方数小于零是要舍去．

生4：当时可能没有负数吧，而负数开平方没意义，肯定要舍去．

设计意图设置诱发式提问，问题(1)揭示数学概念的形成是不断发展的，不是一成不变的，培养学生的理性思维能力．问题(2)为之后的思维迁移作铺垫，人们对负数根的认识一开始也是无法理解的，所以就不予考虑(舍去)，现在想想，舍去负根的做法实在太轻率了，从而诱发思考负数开平方舍去的做法是否有拓展的空间．

师：当时确实是还没有负数，求出负数会认为没有意义，所以要舍去，就像我们现在认为负数开平方没有意义，要舍去．西方要到16世纪才接受负数．我国对负数的认识远远早于西方，在西汉时期的《九章算术》中就提出了负数的运算法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这在世界数学史上都是让人引以为傲的成果．

设计意图通过无理数不同“种”的区别，为后面让学生书写复数的一般形式作铺垫．

师：从一元二次方程的求根公式被阿拉伯数学家花拉子密发现后，人们就开始寻找一元三次方程的求根公式．意大利数学家卡尔丹在他出版的《大术》中，公布了一元三次方程的求根公式．

师：你们说说，这是什么情况？

生5：他算错了．

生6：可能是卡尔丹的公式错了．

师：若公式没错呢？

生(茫然)：……那就只有相等了．

设计意图通过对x3=15x+4这个方程的求解，暴露问题，引发学生认知冲突，为引入虚数作准备．

3.2 层层递进，利用已有的知识点，类比推理出虚数概念

师：其实邦贝利发现的这个问题，当时很多数学家都发现了．负数开平方对那个时代的数学家来说，不仅荒谬，而且还神秘．卡尔丹说：“这些令人费解的结果既精致又不中用，即使抛开精神上的痛苦，对它进行计算，确实让人矫揉造作．”莱布尼茨也说：“我从未见过比这更奇异、更矛盾的事．对于负数的平方根这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”

我们来回顾一下数系的扩充过程：

NZQR?x-1=0有解有解有解有解有解x+1=0无解有解有解有解有解2x-1=0无解无解有解有解有解x2-2=0无解无解无解有解有解x2+1=0无解无解无解无解有解可实施运算加、乘、乘方加、减、乘、乘方加、减、乘、除、乘方加、减、乘、除、乘方加、减、乘、除、乘方、开方

设计意图采用PPT投影，逐级展示方程从无解到有解的过程，使学生的认知水平从“最近发展区”出发，重构数系的扩充过程，明白数系扩充的必要性、连续性和合理性，进而类比抽象概括出虚数概念的存在性．理解i不是凭空产生，避免任何神秘感．

师：我们知道，负数都是由-1乘上一个正数构成，那么负数的开平方问题就归结为-1开平方的问题．就是得有一个数，它的平方等于-1，到底是什么数呢？笛卡尔把这个数叫虚数，欧拉用“i”来表示，其实来源于imaginary(虚数的，虚构的)，即i2=-1．

师：如果i2=-1，那么i3=?,i4=?

生：i3=i·i2=-i,i4=i2·i2=1.

学生总结：i的运算有个规律，即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.

师：大家写写看，看看能写出哪些不同类型的虚数．

(投影展示部分学生所写，如图1)

图1

师生总结：虚数是由两个维度构成，所以所有的虚数都可以表示成z=a+bi(a,b∈R)的形式，其中a叫实部，i前面的系数b叫虚部．b=0时就是实数，b≠0时就是虚数，实数与虚数统称为复数，记作C．

设计意图学生自己动手，师生总结，多维度、多角度加深学生对复数一般形式的认识．

3.3 归纳总结

图2

设计意图对新知识点作提纲挈领式的总结，培养学生多渠道、多形式归纳的能力，构建数集之间的联系，完善认知结构，升华对复数概念的理解，渗透数学素养的培养．

3.4 练习训练，完善加固概念

练习1：当实数取什么值时，复数z=m2+m-2+(m-1)i是①实数；②虚数；③纯虚数？

练习2：已知复数z1=3+(2m-1)i,z2=n+1+i(m,n∈R)，当实数m,n取什么值时，z1=z2？

设计意图消化落实知识点，掌握新知识点的解题应用，完善认知结构．

师：最后我们看看邦贝利的问题．

设计意图呼应前面问题，解决课堂疑问，建立克服困难、解决问题的信心．

师：虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解．19世纪，经过柯西、高斯、黎曼等的努力，复数以漂亮的复变量函数论赢得了历史地位.微分几何的开创者陈省身先生曾说过：“几何中复数的重要性对我而言充满神秘，它是如此优美而又浑然一体，令人陶醉．”接下来，我们将进一步学习复数，领略复数迷人之美(图3)．

图3

设计意图宏观概括复数的功能，升华复数在学生心中的地位，孕育学习期待，为后续内容的展开增加兴趣与动力．

4 教学反思

数学概念课容易上得枯燥无趣，如何上好、上活概念课，是教师比较头痛的一个问题．笔者认为，深入发掘概念的内涵和外延，让概念课变得丰富有趣，数学史的应用是一个很好的切入点．

从数学发展的历史中，不仅能感受概念形成的背景，理解概念发展的连续性、必然性、合理性，还能感受到前人是如何发现问题、分析问题和解决问题的．这个过程是宝贵的思维财富，我们要尽可能挖掘，让学生充分感受理性思维的魅力，从而提高自己理性思维的能力．通过这些历史材料背景了解数学知识的产生与发展过程，把数学知识看作动态发展的结果，有助于从其长期的发展过程中深刻领会其内涵和本质，以理解并掌握数学概念．另外，数学史融入高中课堂教学可以提高学生的学习兴趣，可以帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，领略数学家的人格魅力，接受思想教育．因此，在课堂中有效地利用数学史和数学文化，让学生多方位、多角度地感受知识的产生过程，更有利于学生理解和掌握知识．

在本节概念课的教学中，先从丢番图解方程的角度出发，开场就吸引学生注意，学生好奇古人是怎么解一元二次方程的；然后设计两个简单的问题，在解答问题时顺带讲解我国古代数学成就，以此增加民族自豪感，潜移默化地进行爱国主义教育，培养数学核心素养．接着再抛出主要问题——负数开平方，引发认知冲突．用前面的铺垫启发学生正视问题．为解决问题，必须扩充数系，怎么扩充呢？这是这节课的难点和重点.为此，笔者结合虚数产生历史，安排了一次方程、二次方程求解的例子，用已知的数系扩充经验来类比推理出扩充后的复数集，让学生感知数系扩充的必要性、连续性和合理性，为虚数i的引入扫清障碍．然后师生总结，练习巩固，再回到开头，解决开始预设的问题，让学生通过问题的解决产生成就感，从而体会获取知识的乐趣，增加学习兴趣．最后是一个总结性拔高，是本节课的结束，也是下节课的开始，目的是引起学生的好奇，为复数的后期学习打下基础．

本节课的不足之处是数学史的准备还不够充分，学生对三次方程的求解过程了解还有欠缺，学生的主动参与度还不够，应该在问题的设计中多设计一些有梯度的问题，激发学生探索问题的积极性．