抓住高三数学首轮复习的“牛鼻子”

赵士元 (江苏省苏州市吴中区教学与教育科学研究室 215104)

2022年高考备考工作已拉开帷幕，作为最能影响高考总分的数学学科，自然是备受关注.数学如何备考才高效？对于这一问题，很多数学教学工作者都在不断地思考和尝试.众所周知，数学是一门思维性很强的学科，严密的逻辑性是数学学科最为明显的特征，把数学看作是思维的体操一点都不为过．可是，在目前的数学复习课上，学生思维还常常受制于教师，学生缺乏独立思考和自主解决问题的体验，复习课上“套思路”“套模式”的现象比较普遍．我们认为提高数学课的复习效益，特别是第一轮复习的质量，才能提升学生在考场上的竞争力．最重要的一环也是最有效的一环是抓好习惯．习惯是解题最自然也是最舒服的得分方法，它是高考首轮复习的“牛鼻子”．

什么是习惯，笔者认为习惯是一个人在长期积累的过程中形成的一种稳定的自动化的行为方式．下文结合自身的教学体会谈谈在数学备考中如何从习惯入手，切实抓好数学备考质量.

1 抓习惯就是抓发散，就是让学生达到“见一知多”的功效

从表面上看，上述处理无可厚非，答案也已正确选出，但这样的处理让人有“头痛医头、脚痛医脚”之感，其解题过程也仅仅是一种对解答式的分析，无法起到“举一反三”的功效.笔者认为将本题作为教学例题时应突出几个关健点：

(1)本题题干条件是函数(*)的最小正周期为π，首轮复习不仅要让学生明白周期的含义，还要让学生明确函数(*)的振幅、周期、对称中心、对称轴这几个关键量的求法以及它们的特征，以拓展学生的思维；

(2)应针对不同的题型采取不同的应对策略.高考数学复习不仅是数学知识的复习过程，也是考试策略的训练过程.本题是一个选择题，而且是一个多选题，理应先考虑选择题的特殊策略，而我们知道数学题的分析有定量分析和定性分析，我们习惯于进行定量分析，但如果我们在定量分析前能够进行适当的定性分析，往往会取得意想不到的效果．

(3)对本题的分析作上述改进后，其解题速度未必比定量求解快速，但数学复习重要的不是讲完多少道题目，重要的是通过复习让学生学到了什么，评判一节课的复习效率不是看教学容量而是看学生的学习任务是否圆满完成．对一个数学问题的定性分析，有利于拓宽学生的解题思路，上述分析尽管可能减慢了复习进程，但通过多角度剖析使学生的思维得到了提升，达到了“一叶知秋”的功效，更何况首轮复习的精致到位有利于二、三轮复习的快速推进．

(4)从上述第2点的分析可知，由于选项A，B不可能全对，同样选项C，D也不可能全对，而本题是一个多选题，因此在判断出选项B正确时，立即可知选项D错误(因为这个函数图象的对称中心不可能在对称轴上)，于是可知选项C正确．这样，通过定性和定量的结合，避开了研究对称中心，圆满而又快速地解决本题．

2 抓习惯就是抓思维，就是让学生使用普遍规律解决问题

首轮复习切忌技巧性太强，但事实上很多教师往往热衷于解题技巧和解题套路的传授，将数学问题分成一个又一个碎片化的专题，这种专题化的复习策略在第一轮并不可取.首轮复习应追求基础性知识的巩固，帮助学生构建知识网络，强化数学思维，让学生使用普遍规律解决问题而不是过早地追求所谓的“灵感”．

本题给出的是一个递减正数列的递推关系，这里的关键词“递减”“正”是什么意思？这应该让学生先用数学语言表达出来：“递减”的含义是对∀n≥2，均有an0．

递推关系给出了两个相邻项的关系，但这个关系并不对称也不是常见的几种递推关系之一，其基本思路是先将其化简，再观察其关系：

思路回顾本题的递推关系看似比较复杂，基础一般的学生很难直接看出其隐含的内在联系.但递推关系的本质是数列的某两项满足的某一个关系式，本题给出的是相邻两项an与an-1的关系，其最终目的是要简化成an=f(an-1)的形式，于是将原式化为①的形式，这实际是一个关于an的二次方程，其中我们把an-1看成是一个普通的字母.为了从①式求出an的表达式，我们利用因式分解中的“十字相乘法”将①式转化为②式，而后利用条件判断出其中一个因式恒不为零，于是求出了an的表达式.上述过程并不复杂，仅仅是求解含字母的一元二次方程而已，教师在分析时务必将这一思路讲清、讲透，在深入分析透彻的前提下由学生实施求解．

无论从思维要求还是运算要求来看，本题中的两个小题都有一定的难度，但分析时还是从常规的想法入手，从学生思维的“最近发展区”出发，这是解题最普遍的规律.只有熟练掌握了这种最基本的解题规律，学生才能真正做到“举一反三”.思维的拓展离不开思维的基础，那种脱离了基本规律的所谓解题技巧往往是空中楼阁，不要相信解题过程中的“灵机一动”，真正的“灵机一动”是留给有准备的人的.

3 抓习惯就是抓基础，就是帮助学生节省考试时间成本

学生的学习离不开考试．所谓考试，严格意义上说就是限定时间内的做题比赛，学生要在考场上考出理想成绩，就必须在规定时间内做对尽可能多的题目，而抓好基础有利于其在基础性题目上节省时间成本．

3.1 掌握好符号语言、文字语言和图形语言的相互转换

数学是一门具有较强抽象性的学科.数学符号、数学概念、数学公式都是现实生活问题的高度抽象，学生对符号、概念、公式的熟悉程度直接影响其数学学习，因此，教师应帮助学生熟练掌握符号语言、文字语言和图形语言之间的相互转换．如对函数单调递增的理解，不仅要求学生能熟练记住单调递增概念的书面表达，更重要的是要将单调性和初中数学教学中的函数值变化情况建立联系，即单调递增的含义就是自变量x增大，对应的函数值y也增大，反之，自变量x减少，对应的函数值y也减少；而从图象上看，要求学生明确单调递增就是对应的函数图象从左到右逐渐往上.单调递增和单调递减反映了自变量x和对应的函数值y之间的不等转化关系．

3.2 理解重要数学概念的变式应用

数学中有很多概念，有些概念抽象性强，有些概念具有多种变式.第一轮复习中应帮助学生从不同角度理解同一数学概念，以使学生更深刻地理解概念．以偶函数概念为例，对偶函数的理解不仅要让学生记住概念，更要让学生用通俗的语言理解偶函数的概念：即当任意两个自变量互为相反数时，其对应的函数值相等；反之，若对于任意两个互为相反数的自变量，它们所对应的函数值相等，则函数f(x)图象关于y轴对称，函数f(x)是偶函数.在此基础上可以将结论一般化：若对定义域内的任何两个自变量x1,x2，当x1+x2=2a时，它们对应的函数值相等，即f(x1)=f(x2)，那么函数f(x)的图象关于直线x=a对称.对奇函数也可以作同样的变式理解．当学生理解了上述结论后，还可以帮助其进一步快速理解如下结论：若函数f(x)定义域为D．(1)若∀x∈D，都有f(2-x)=f(x-2)，函数f(x)是偶函数；(2)若∀x∈D，都有f(2-x)+f(x-2)=0，函数f(x)是奇函数；(3)若∀x∈D，都有f(2-x)=f(x+2)，函数f(x)关于直线x=2对称；(4)若∀x∈D，都有f(2-x)+f(x+2)=2，函数f(x)关于点(2,1)对称．

3.3 熟悉常见的转化技能

3.4 熟记常见的特效数字

数学是一门具有高度抽象性的学科，但在数学学习过程中学生仍然需要记住一些常见的特效数字，记住这些数字可以帮助我们快速解决一些基础性问题，为解决后续题目赢得考试时间．

3.5 强化学生运算能力训练

运算能力是数学学习最基本也是最为重要的能力，运算能力的高低直接影响着数学学习的深度和进程．高三第一轮复习务必把运算能力的培养作为复习的重中之重.运算能力的培养需要一定量的训练，但不是死做，更不是靠题海战术.复习时要让学生明确基本算理，并在训练过程中培养其自觉优化运算策略的能力．运算能力的培养可从以下途径实施：首先要让学生明确并理解运算所需要的概念和公式，其次要让学生积累一些需要记住的基本结论，再次是要在课堂教学中注意运算过程的示范并不断渗透．特别重要的一点是运算示范中要注意运算中推理能力的培养，平时要注意多角度思考并在比较过程中寻求最优运算方式，只有平时强化了最优化思维，学生才能在考场上快速寻找最佳运算途径．

3.6 凸显数学知识的相互联系，从整体上理解数学结论

4 抓习惯就是抓规范，就是实现“会而对、对而全”的有效策略

每次考试结束，许多学生会发现明明会的题目做错了，明明做对的题目教师没有给全分，这就是通常所说的“会而不对，对而不全”．要有效防止这一现象，最根本也是最有效的策略就是抓规范，而学生的规范性思维和规范性书写也是一种习惯．我们知道数学教学离不开解题教学，学生的数学学习离不开解题训练，而解题教学是培养学生规范思维和规范书写的最佳途径.可现实情况是许多教师不会讲题，他们为了追求所谓的大容量而采取了解答式的解题教学，他们只重视解题过程，忽视了审题和设计这一更重要的环节.特别是在PPT支撑下的课堂教学，许多教师习惯将题目显示在PPT上，学生还没看清题目就开始讲解，讲解完毕又不对解题过程进行必要的反思.更有甚者，打着“熟能生巧”的幌子热衷于题海训练，把学生作为解题的机器．波利亚在《怎样解题》中强调，解题过程包括审题、设计解题计划、实施解题计划以及解题反思这四个步骤，教师在例题讲解时应该整体呈现这四个环节，缺一不可．

抓习惯的第二个重要方面是抓学生书写的规范，规范的书写是高考得分的保证，但学生规范的书写不是靠说教而是通过教师的示范实现的.可惜的是，许多教师在课堂教学中并不重视规范书写的示范性，有的教师板书混乱缺乏美感，有的教师仅仅板书主要过程或思路，有的教师将答案直接呈现在PPT上，课堂中缺少边板书边思考的过程性教学.因此，建议在首轮复习过程中，教师务必重视板书的示范性，将规范的思考过程和书写格式呈现给学生.