体验归纳猜想，践行核心素养——“等比数列”教学案例分析

◎殷 涛 (南京市金陵中学,江苏 南京 210005)

引 言

等比数列这一章节的内容是高中数学的重点和难点.等比数列章节知识主要包括等比数列的概念、定义以及前n项和的求解公式等内容.为了降低学习的难度，教师往往从学生较为熟悉的内容入手，采用多媒体视频或者数学趣味小故事来导入课程.学生在验证数学趣味小故事的时候，会不断靠近等比数列的学习内容，在猜想、归纳和总结中得出等比数列的公式.这种方法不仅可以提高学生学习的兴趣，还可以将数学与生活整合在一起，践行数学的应用性特点，对于学生核心素养的培养有着促进作用.

一、教学设计思想

(一)设计理念

随着新课程改革的不断深入，教师要秉持着因材施教的理念，在设计课堂教学过程中要面向全体同学，以达到“想学习的人均可以获得数学知识”的目的.在设计前期，教师需要将三维教学目标与核心素养内容进行整合，邀请学生一起互动，培养他们良好的情感、态度和价值观，进而帮助学生树立正确的数学观.在教学时，教师需要引导学生从简单内容的学习过渡到核心知识上.在这个过程中，学生在头脑之中会对知识结构进行重组，数学思维得到激发.在引用例子的时候，教师往往会联系生活实际，让学生感到数学学习的意义，从而培养他们的社会意识，明确生活化数学的科学合理性.

(二)设计背景

传统的课堂教学以学生数学知识和解题能力提升为主，很少涉及核心素养内容，导致学生数学学习枯燥乏味，数学与日常生活相互独立，不利于学生综合能力的提升以及核心素养的培养.新课程标准理念需要教师重新认识数学学习的价值，充分研读高中数学课程大纲，深入理解核心素养的内涵，突破传统的教学方式，创新教学的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的核心素养.这就需要教师既要帮助学生巩固基础知识，还要帮助他们在学习的过程中学会归纳总结和自主探究，发展学生的数学思维，提高学生的数学综合能力.

二、教学目标

(一)知识目标

1.引导学生掌握等比数列的定义，会根据定义判断某数列是否属于等比数列；掌握等比数列的前n项和公式，并应用等比数列的前n项和公式灵活解题.

2.引导学生学会等比数列的表示方法，灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比以及指定项；引导学生掌握前n项和的推导过程.

3.通过通项公式认识等比数列的性质，运用前n项和公式来解决生活中的某些实际问题.

(二)能力目标

通过对等比数列概念、通项公式的学习，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质，并在前n项和公式的推导过程中体会分类讨论的思想方法.

(三)情感态度价值观

通过学习等比数列的概念，培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度；通过对等比数列的学习，让学生认识到数学学习的应用价值，帮助他们树立正确的价值观.

三、教材分析

(一)知识结构

等比数列与等差数列是高中教材中的重点内容.在教材结构安排上，教师往往是带领学生进行等差数列的学习，然后采用类比的方法，归纳出等比数列的定义，推导出相关的公式.同时，等比数列的前n项和又是另外一个学习的重点，其内容要比通项公式复杂得多.在等比数列前n项和的学习中，往往采用分类讨论的思想来思考不同条件下的前n项和公式，这有利于培养学生科学严谨的数学思维.

(二)重点、难点分析

1.教学重点

等比数列的定义；通项公式；等比数列前n项和公式的推导、证明以及应用.

2.教学难点

等比数列通项公式及前n项和公式的推导以及灵活应用.

四、教学过程

(一)创设情境，由生活问题向学习内容贴近

教师为学生创设问题情境.

在很久以前，古希腊国王发现了64格棋盘的趣味性，决定要大大嘉奖发明它的宰相，并允许其说出想要的奖品.宰相的赏赐要求很简单，即在棋盘的第一格子内放一粒麦子，第二个格子内放两粒麦子，此后每个格子的麦粒数目都是上一个格子的二倍，他就要这64格棋盘上摆满的麦粒.国王一听，认为这个赏赐太简单，便随口答应了下来.那么问题来了，这64格棋盘究竟可以放多少麦粒呢，国王是否会真正的答应他呢？

师：同学们你们如何来计算这道趣味数学题目呢？

生：(思考之后)这相当于求1+2+22+23+24+…+263，化简的结果为264-1，通过计算机可以发现其结果约为1.84×1019，那么这么多麦粒到底有多重呢？我们可以将抽象的数字细化为生活中常见的重量单位.一千粒麦子的重量约为40克，那么这堆麦粒的总重量大约为7000亿吨，为此国王应该不会同意宰相的要求.

【设计意图】通过创设数学问题情境，可以将枯燥乏味的数学知识与生活实际内容紧密地联系起来，让学生真正地意识到数学来源于生活，又应用于生活.从而激发学生的学习兴趣，使学生积极地投入到教学活动之中.

(二)在小组合作探究中，提升数学核心素养

师:刚才我们解决了麦粒问题，如果将20、21、22、23…264排列在一起，可以发现这是一个等比数列，而那个相加的公式便是等比数列的前64项求和公式.从这个特殊的案例，我们是否可以尝试推导一下常规情况下的等比数列前n项和公式呢？

生1：我知道这是运用了类比的方法，根据特殊情况来类推常规情况.我们可以观察麦粒求和的公式来发现等比数列的前n项和公式.

师:这位同学说得非常对，我们可以利用麦粒求和算式来类推等比数列的前n项求和公式，大家以小组为单位，尝试一下能否推导出来这个公式呢？

小组以前后桌为单位开展了小组合作学习，运用集体的智慧来推导求和公式.教师在这个过程中巡视，并对学生们在讨论过程中遇到的问题进行适当的点拨.当所有的小组讨论结束后，教师邀请一名同学上台演示推导过程.

【设计意图】新课程改革背景下，教师要引导学生开展小组探究合作，来帮助学生相互学习、优势互补，不仅可以提升数学教学的质量，还可以培养学生的合作意识以及探究精神，达到培养核心素养的目的.

(三)学以致用，提高学生的数学应用能力

教师利用多媒体课件为学生出示例题1.

教师邀请两名学生上台进行演示，其他学生在下面利用草稿纸进行计算.

【设计意图】在上面的教学环节中，教师刚刚带领学生推导出公式，学生的印象比较深刻，正所谓趁热打铁，教师立刻为学生布置较为简单的例题，来帮助他们巩固基础.同时，教师还可以帮助学生纠正错误，并强调书写的规范性，以此来提高学生的计算能力，培养他们良好的计算习惯.

教师为学生出示例题2.

某大型商场为了增加营业额，筹备了某方案，方案之中预计今年要销售计算机5000台，假设此后每年的销售量均比上一年增加10个百分点.问：从今年开始，大约几年可以使总销售量达到30000台.(结果精确到个位)

教师引导学生分析问题，可以发现基数是5000，增长的比例为10%，最终销售的总量是30000.与本章节内容相联系，就可以发现利用这些数学元素可以构建一个等比数列的关系式，所求解的n即为最终答案，通过带入公式求得n的结果为10.为此，大约十年可以使销售的总量达到预期的30000台.

师：通过分析这道应用题，我们可以总结出相应的答题步骤.首先，阅读题目，寻找数学元素，构建数学模型.然后，分析数学模型，利用数学知识解答相应的实际问题.最后，将数学答案与实际问题所求的量进行对接，并结合实际情况思考答案是否正确.

【设计意图】数学知识来源于生活，自然也要用来解决实际的问题.在平时的教学过程中，教师要善于寻找符合生活实际的例子，而不是直接以数字的形式呈现给学生，这样可以帮助学生培养生活化的思维.同时，教师还要引导学生善于发现生活中的数学问题，并选取合适的数学模型来解决数学问题，从而培养他们的解题能力，为数学核心素养的培养奠定基础.

教师见到学生的学习热情比较高，于是给学生布置一道自主练习的题目：

穷人向地主借钱，吝啬的地主竟然满口答应了下来，地主每天给穷人100块钱，穷人从第一天开始还给富人一分钱，第二天还2分钱，此后每天所还钱数均为前一天的两倍，约定期限为30天.问，最后穷人能否盈利.

学生自主思考问题，可以适当进行小组讨论.教师巡视，观看学生自主解题的成果.当大部分的学生解答完问题之后，教师邀请一名同学上台分享自己的解题思路和解题过程.

生：首先要计算地主总共给了穷人多少钱，即T=100×30=3000元.然后计算穷人还给富人多少钱，即a1=1,q=2，单位为分，将其带入到等比数列的前n项和公式中，换算之后可以得出S=10737418.23元，最后通过对比可以发现穷人最后亏了上千万元.

师:这位学生做得非常好，这道题表面是一道比大小的问题，但是如果将数学元素找出来，并进行数学建模，可以发现其本质是等比数列前n项和的应用案例，同学们可以细细感悟一下这种思想转化法的运用.

【设计意图】布置这种数学问题的核心目的是巩固等比数列前n项和的知识，辅助目的则是提高学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性以及自信心，从而构建高效的数学课堂，培养学生们的数学核心素养.

四、教后反思

数学核心素养并非借助某一节课程就可以培养成功，但是教师需要将数学核心素养的内容细化到每一节课中，甚至细化到每一个环节之中.在教学前期，教师要制定与核心素养相关的教学目标.然后深挖教材，制定科学合理的教学计划，在各个环节融入核心素养.从本节课的教学情况来看，我主要讲解等比数列中的一小节,即等比数列前n项和的推导与求解.在教学方法上，我利用情境教学法、生活化教学法、多媒体教学法等多种方法来丰富数学课堂，不仅帮助学生理解并掌握了相关的知识，更重要的是提高了他们的数学综合能力，培养了他们的核心素养，这既符合新课标的要求，也是高中数学教学改革发展的必然举措.

五、结论

通过上面的分析，我们可以发现高中数学核心素养的培养是一项长期的任务，任重而道远.在应试化教育思想的影响下，高中数学教师想要改进自己的教学方法存在一定的难度.但是教师应该认识到核心素养的价值，通过培训、网络学习等手段提升自身的专业素质以及教学能力，探索培养学生核心素养的更优方法，从而提高高中数学的教学质量.正所谓“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”.尽管现阶段高中数学核心素养的培养尚且存在着问题，但是我们要始终坚信，在教师、学校以及学生的共同努力下，高中数学核心素养的培养任务定然会取得较大的突破.