一个含有复合核的Hilbert型不等式

有名辉，孙 霞

一个含有复合核的Hilbert型不等式

有名辉，孙 霞

(浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州 310053)

通过引入恰当参数，构建一个与对数函数相关联并同时包含齐次和非齐次两种情形的核函数．借助实分析的相关技巧，建立一个含最佳常数因子的Hilbert型积分不等式．特别地，作为结论的应用，通过对参数赋予特殊值，文末还建立了若干推论．

Hilbert型不等式；复合核；Hölder不等式；最佳因子

近年来，研究者们通过对（1）式中的核函数进行参数化，并考虑其对应的离散情形、半离散情形、高维推广以及系数加强，构建了大量富有价值的新成果[3-12]．此外，通常还有与（1）式类似的含有对数函数的不等式：

（2）式通常称为Hilbert型不等式，其相关推广和类比可参见文献[13-17]．另外，通过构造一个指数函数和对数函数复合而成的核函数，刘琼等[18]建立了如下Hilbert型不等式：

本文将建立如下核函数与对数函数关联的Hilbert型不等式：

更一般地，我们将构造一个含对数函数的多参数积分核函数，并同时兼顾齐次和非齐次两种形式，借助统一的处理方法，建立（4）式的推广形式．

1 引 理

由分部积分，可得：

同理可得

把（8）式和（9）式的结果代入到（7）式，则可得（6）式．

2 主要结果

证明：由Hölder不等式[20]得：

类似的方法可得：

把（15）式及（16）式代入到（14）式，则

即

且有

[1] Mintrinovic D S, Pecaric J E, Fink A M．Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives [M]. Boston: Kluwer Academic, 1991: 17-35.

[2] Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities [M]. London: Cambridge University Press, 1952: 255.

[3] 杨必成. 算子范数与Hilbert型不等式[M]. 北京: 科学出版社, 2009: 2-17.

[4] Yang B C. On Hilbert’s Integral Inequality [J]. J Math Anal Appl, 1998, 220(2): 778-785.

[5] Yang B C, Brnetic I, Krnic M, et al. Generalization of Hilbert and Hardy-Hilbert Integral Inequalities [J]. Math Inequal Appl, 2005, 8: 259-272.

[6] Yang B C. On an Extension of Hilbert’s Integral Inequality with Some Parameters [J]. Aus J Math Anal Appl, 2004, 1(1): 1-8.

[7] Krnic M, Pecaric J, Peric I, et al. Renct Advances in Hilbert-type Inequalities [M]. Zagreb: Element Press, 2012: 2-43.

[8] Krnic M, Pecaric J. Extension of Hilbert’s Inequality [J]. J Math Anal Appl, 2006, 324: 150-160.

[9] Krnic M, Pecaric J. General Hilbert’s and Hardy’s Inequalities [J]. Math Inequal Appl, 2005, 60: 29-51.

[10] kuang J, Debnath L. On New Generalizations of Hilbert’s Inequality and Their Applications [J]. J Math Anal Appl, 2000, 245: 248-265.

[11] You M H．On a New Discrete Hilbert-type Inequality and Its Application [J]. Math Inequal Appl, 2015, 18(4): 1575-1587.

[12] 杨必成. 一个新的零齐次核的Hilbert型积分不等式[J]. 浙江大学学报(理学版), 2012, 39(4): 390-392.

[13] Yang B C. An Extension on the Hilbert-type Inequality and Its Reverse [J]. J Math Inequal, 2005, 43(5): 580-584.

[14] 有名辉. 一个与Euler数有关的Hilbert型不等式的推广[J]. 浙江大学学报(理学版), 2016, 43(2): 144-148.

[15] 有名辉. 一个含特殊常数因子的非齐次核Hilbert型不等式[J]. 温州大学学报(自然科学版), 2016, 37(4): 17-24.

[16] 付向红, 和炳. 具有两个参数的Hilbert型积分不等式[J]. 吉林大学学报(理学版), 2010, 48(4): 595-599.

[17] 周昱, 高明哲. 一个新的带参数的Hilbert型积分不等式[J]. 数学杂志, 2011, 31(3): 575-581.

[18] 刘琼, 黄琳. 一个参量化复合核Hilbert型积分不等式[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2016, 60(1): 51-57.

[19] 余家荣. 复变函数[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2000: 96.

[20] 匡继昌. 常用不等式[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2003: 5.

On a Hilbert-type Inequality Involving a Composite Kernel

YOU Minghui, SUN Xia

(Mathematics Teaching and Research Section, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou, China 310053)

By introducing several parameters, this paper constructs a composite kernel function which is associated with logarithmic function and contains both homogeneous and non-homogeneous cases. With the help of real analysis techniques, a Hilbert- type integral inequality with optimal constant factor is established. In particular, as an application of the conclusion, some inferences are established by assigning special values to parameters.

Hilbert-type Inequality; Composite Kernel; Hölder Inequality; Best Constant Factor

O178

A

1674-3563(2021)04-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2021.04.002 本文的PDF文件可以从www.wzu.edu.cn/wzdxxb.htm获得

2020-08-13

浙江省教育厅科研项目(Y201737260)；浙江机电职业技术学院科教融合项目(A-0271-20-007)

有名辉(1982― )，男，浙江安吉人，讲师，硕士，研究方向：算子逼近与不等式

(英文审校：黄璐)

(编辑：王一芳)