一类具有非线性发病率的随机SIRS模型的渐近行为
2021-12-14李婷婷薛亚奎
李婷婷，薛亚奎
(中北大学 理学院， 太原 030051)
传染病动力学的研究，在帮助我们理解传染病的传播机制和对疾病的有效防控方面做出了贡献。而数学模型是研究传染病动力学行为的有效工具，通过建立模型对其进行分析，可以预测疾病变化的发展趋势，从而制定科学合理的预防措施[1]。
近年来，许多学者通过引入随机波动，将经典的传染病模型从确定性模型转变为随机模型，利用随机微分方程进行传染病动力学的建模[2-7]。Allen[8]介绍了多种类型的随机微分方程流行病模型的推导方法。Jiang等[9]研究了一个具有两类随机扰动的DI-SIR传染病模型，说明了两个随机模型的长时间行为。Korobeinikov等[10]研究了非线性发病率对流行病模型的动力学影响，在总规模不变的情况下，发病率相对于感染人数的凹形是稳定性的一个充分条件。Gray等[11]建立了一个SDE SIS流行病模型，证明了该模型具有唯一的全局正解，并为传染病的灭绝和持续建立了条件。Zhao等[12]研究了一类带有免疫接种的随机SIS流行病模型的动力学性质，讨论了噪声大小对疾病是否流行的影响。Lahrouz等[13]研究了在不同规模人口中具有非线性发病率的随机SIRS流行病模型，得到了灭绝和存在唯一平稳分布的充分条件。张等[14]分析了媒体报道和随机噪声共同影响的传染病模型的随机灭绝。Yang等[15]研究了疾病传播系数和移出率都受噪声影响的随机SIRS模型，证明了随机模型具有唯一正解，并为疾病的灭绝和持续创造了条件。Liu等[16]研究了带有免疫接种的随机时滞SIR流行病模型的阈值动力学，得到了这种疾病灭绝和持续的充分条件，并给出了随机模型灭绝和持续的阈值。
由于各种原因，均匀混合的基本假设可能并不总是成立。在这种情况下，必要的种群结构和异质性混合可以被纳入一个具有非线性发病率的流行病模型。研究发现，具有非线性发病率的流行病模型比具有双线性或标准发病率的流行病模型具有更复杂的动力学特性。
如果疾病的发病率是非线性发病率βSI/ψ(I)，可建立如下SIRS传染病模型：
(1)
式中：Λ为出生率，μ为自然死亡率，γ为感染个体的恢复率，δ为恢复个体丧失免疫功能而恢复到易感人群的比率，β为传播率，ε为因病死亡率，βSI/ψ(I)为发病率，其中ψ(I)满足ψ(0)=1，ψ′(I)≥0。上述参数均为非负。
(2)
式中：B(t)是强度为σ2>0的标准布朗运动。
首先，给出了模型(2)的一个阈值，进而分别在第2节与第3节得到了疾病灭绝与疾病持续的充分条件；其次，基于数值模拟验证了这些结论；最后，给出了一些结论。
是模型(2)的一个正向不变集。
1 疾病灭绝
本节研究疾病灭绝的条件，令
式中，R0为确定性模型(1)的基本再生数。
为方便起见，引入符号：
证明模型(2)积分得到
(3)
根据式(3)，可得
(4)
由式(4)可得
(5)
其中
(6)
模型(2)第2式由伊藤公式可得
对上式从0到t积分，并且两边同时除以t，得到
(7)
将式(5)代入式(7)得
(8)
其中
由鞅的大数定理和式(6)可知
(9)
根据式(7)，得到
即
(10)
根据模型(2)，通过求解d(S+I+R)/dt=Λ-μ(S+I+R)-εI得
2 疾病持续
(11)
成立，则对于任意初值(S(0)，I(0)，R(0))∈Γ*，模型(2)的解(S(t)，I(t)，R(t))具有如下性质
(12)
其中
(13)
证明根据式(8)的最后一个等式，有
(14)
将式(14)改写为
若满足式(11)，根据式(9)和文献[7]附录中引理A.2，可得
(15)
将式(5)代入式(7)，则
(16)
根据式(6)和式(9)，取式(16)两边的下限得
(17)
因此，根据式(15)和式(17)得到式(12)。证明完毕。
3 数值模拟和讨论
为了验证以上结果，使用文献[18]中的方法对模型(1)和(2)的解进行数值模拟。选择相同的初值(S(0)，I(0)，R(0))=(0.9，0.1，0)，且ψ(I)=1+αI2。选择模型(2)的参数如下：Λ=1，β=0.1，μ=0.2，γ=0.1，δ=0.25，ε=0.05，α=0.001。
图1 疾病灭绝曲线
图2 疾病持续曲线
4 结论
