一类SIS随机传染病模型的动力学分析

史佩文，乔志琴

(中北大学 理学院， 太原 030051)

1 模型介绍

传染病种群动力学模型[1-2]在分析流行病学和传染病控制方面发挥了非常重要的作用。对于很多传染病，如乙型肝炎、梅毒、艾滋病、风疹、水痘、麻疹、肝炎、小儿麻痹症、腮腺炎等，被感染的母体在生育时传染给新生儿是这类传染病的主要传播方式之一，俗称垂直传播。为此，研究者建立了具有垂直传播的传染病模型[3-5]，并分析了此类系统的动力学行为。考虑了一类具有垂直传播和标准发生率的传染病种群模型：

(1)

式中：S(t)、I(t)分别表示易感者、染病者在t时刻的种群数量，Λ为种群输入率，b为种群自然出生率，μ为种群自然死亡率，α为染病者的因病死亡率，γ为染病者的恢复率，β为易感者与染病者的有效接触率，p(0≤p≤1)为染病者的下一代仍是染病个体的概率，则1-p为染病者的下一代是易感者的概率，且Λ，b，μ，α，γ，β>0。将种群总规模表示为N(t)S(t)+I(t)，由系统(1)可得

本文以下假设μ-b>0。系统(1)的流程(其中p+q=1)如图1所示。

图1 系统(1)的流程示意图

随机模型的使用能够更好地预测和控制传染病的传播，国内外许多学者研究了随机生物学模型和随机传染病模型[6-11]。而模型中加入随机扰动的方法不唯一，目前国内外的研究工作中最常考虑的有两种方法：第1种是对模型中的参数加入扰动，如扰动感染率、出生率和死亡率；第2种是对系统中的各状态人群分别进行整体扰动，由于人群数量越大，其不确定性也越大，因此通常会考虑白噪声扰动与状态人群成正比。考虑第2种环境白噪声对传染病传播的影响，得到模型如下：

(2)

2 统全局正解的存在唯一性和平稳分布

选取一个非负的C2函数H(S，I)=(S-1-lnS)+(I-1-lnI)，利用It公式得

dH(S(t)，I(t))=LHdt+σ1(S-1)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)

其中，

式中K是一个独立于S，I，t的正常数，则有dH(S(t)，I(t))≤Kdt+σ1(S-1)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)。

对上面不等式两端在区间[0，T∧τk]上积分，可得

H(S(T∧τk)，I(T∧τk))≤H(S(0)，I(0))+K(T∧τk)+

E(H(S(T∧τk)，I(T∧τk)))≤H(S(0)，I(0))+K(T∧τk)≤H(S(0)，I(0))+KT<∞

下面将用Has’minskii的相关理论[13]来获得随机系统(2)的遍历平稳分布，来分析此传染病在什么条件下将会持续下去。

(3)

引理1[13]若存在一个具有正则边界的有界区域D⊂R2，满足以下条件：

2) 对任意的x∈R2D，存在一个非负的C2函数使得LV是负的；

dV1(t)=LV1(t)dt+σ1(S-a1)dB1(t)+σ2(I-a2)dB2(t)

其中

dV2(t)=LV2(t)dt+(S+I)θ[σ1SdB1(t)+σ2IdB2(t)]

其中

3 传染病的灭绝

证明:利用It公式和系统(2)得方程两边在区间[0，t]积分之后，再同时除以t得

4 数值模拟

本节中用Matlab绘图来阐明白噪声对系统(2)的影响，作图方法参见相关文献[14]。取参数Λ=0.1，β=0.7，μ=0.2，b=0.1，α=0.4，p=0.5，γ=0.1，选取初值(S(0)，I(0))=(0.8，0.2)，此时R0=1.076 9>1，确定性模型(1)中的传染病持续。下面选取不同的白噪声强度来观察白噪声强度对随机传染病传播的影响。

图2 σ1=0.1，σ2=0.1时随机系统(2)的解曲线(a)和随机模型(2)存在的平稳分布所对应的频率直方图((b)(c))

图3 当σ1=0.2，σ2=0.5时随机模型(2)中传染病灭绝，此时对应的确定性模型传染病持续曲线

图时系统(2)中传染病持续曲线

下面观察白噪声强度从弱到强改变时对系统(2)的影响，选取σ1=0.01，σ2=0.01，如图5(a)所示；再选取σ1=0.1，σ2=0.1，如图5(b)所示；最后，选取σ1=0.2，σ2=0.2，如图5(c)所示，在这3组参数下，系统(2)中传染病均持续，可以看出当噪声强度非常小的时候，系统(2)几乎可以忽略噪声的影响，此时与确定性模型差别不大，但随着白噪声强度的增加，系统(2)解曲线的波动会变大。

图5 白噪声强度由弱到强时对系统(2)状态解的影响曲线