深度学习，由“经历”走向“经验”——《钉子板上的多边形》教学与思考（一）

文|孙丽燕

【教学内容】

苏教版五年级上册第108、109 页。

【教学过程】

一、激活探究活动经验，从“要我学”到“我要学”

1.激活经验，故事趣导。

师：同学们，钉子板大家都很熟悉了，如果把钉子板抽象成点子图，相邻2 枚钉子的距离是1厘米，每相邻的4 枚钉子构成的正方形面积就是1 平方厘米。

师：这些图形面积是多少？你是怎么知道的？

（学生活动并口答）

师：真棒！用面积计算公式或割补数方格的方法，很快找到了这些图形的面积。有个奥地利数学家叫乔治·皮克，他发现除了用割补数方格、公式计算多边形的面积，还有一个实用且有趣的数学规律。我们今天来一起研究。（板书：钉子板上的多边形）

2.深入溯源，引发猜想。

师：（指其中一个图形）同学们，这一位置的钉子就叫多边形边上的钉子。图形内部的钉子就叫多边形内的钉子。数一数，边上的钉子、形内的钉子数各是多少？猜想：钉子板上多边形的面积大小可能会与哪些因素有关？如果不用公式计算，有什么规律呢？

（学生讨论后交流）

生1：多边形边上的钉子数越多，面积一定越大。

师：有点道理，你们同意他的意见吗？按照你的猜想，如果边上的钉子数相等，面积是不是一定相等？请看第②、⑤、⑧图，边上都是8 枚钉子，面积怎么样？

众生：不同。

生2：说明面积的大小，肯定不光是由边上的钉子数决定的。

生3：我同意，多边形的面积应该与形内的钉子数也有关。

生4：老师，形内的钉子数越多，面积可能越大。

生5：不一定，你看第②、⑥图，形内都是2 枚钉子，但面积不同。

师：真棒，你们学会了反思。通过观察，发现边上的钉子数相等，面积不一定相等；形内的钉子数相等，面积也不一定相等。那钉子板上的多边形面积到底与什么因素有关呢？大家可以交流一下。

生：我认为应该与边上的钉子数和形内的钉子数都有关。

小结：很有道理，那么钉子板上多边形的面积，与边上的钉子数和形内的钉子数，到底有怎样的关系？我们一起深入研究。

3.整体思考，把握方法。

师：多边形边上钉子数是一个变量、形内钉子数是另一个变量，这个问题似乎有些复杂，你准备怎样研究？

生：先从简单的开始研究，可以先研究形内1 枚钉子的情况。

师：是啊，有两个变量，要先确定一个变量——形内的钉子数，从只有1 枚的情况开始研究，再研究更多的情况。那我们是不是要对这八个图形分分类？

明确：按照形内有1 枚钉子（第①③④⑤图）、2 枚钉子（第②⑥图）、3 枚钉子（第⑦图）、4 枚钉子（第⑧图）的图，分成四类。

【思考：激活探究活动经验，明确“学什么”“为什么学”“为什么这样学”，从“要我学”自然变成“我要学”。本内容是一种既有趣又有挑战性的活动，要解决“钉子板上多边形的面积大小可能会与哪些因素有关？有什么规律呢？”的问题，有两个变量，先确定其中一个变量进行探究规律是学习难点。过程中制造认知冲突，激发相互评价，用“疑”激发说理“欲”，在“辩”中启发说理“智”。学生通过动口说理，把每一次思考中蕴含着的个体的数学理解、个性化见解进行传递。解惑中清晰，解疑中深化，积累确定某变量的情况下探求其余变量规律的科学探究经验。】

二、积累问题解决经验，从“点状”到“结构”

1.尝试探究，形成结构。

活动1：探索形内只有1 枚钉子的多边形面积。（第①③④⑤图）

活动要求：（1）填一填，把多边形的面积和边上钉子数记录在《研究单》上；（2）想一想，形内只有1 枚钉子时，多边形的面积可能与边上钉子数有怎样的关系？

师：哪个小组来交流一下你们的发现？

生：①号多边形面积是2 平方厘米，边上钉子数是4 枚；③号多边形面积是3 平方厘米，边上钉子数是6 枚……

生：我发现在形内都是1 枚钉子的情况下，多边形边上的钉子数越多，面积越大。

生：当多边形内只有1 枚钉子时，多边形的面积是多边形边上钉子数的一半，你看4÷2=2，6÷2=3，7÷2=3.5，8÷2=4。

师：同学们真厉害，从不同的数据中找到相同点，发现了关系。但我们只是通过四个例子有所发现，这个猜想是不是对所有的多边形都适用呢？（板书：猜想）还需要怎么样？

生：举更多的例子来验证。（板书：举例验证）

师：在点子图上任意画几个形内只有1 枚钉子的多边形，迅速验证，看看是否符合刚才的发现，并找找有没有反例。

（学生举例并交流）

师：如果多边形的面积用S 表示，多边形边上的钉子数用n 表示，刚才发现的关系你能用一个字母式子表示吗？写一写。

（学生回答并板书：S=n÷2）

师：回顾探索过程，咱们是怎样找到这个规律的呢？（板书：仔细观察、提出猜想、举例验证，归纳结论）

【思考：问题解决经验不是一蹴而就的，逐步积累是问题解决、经验生长的关键。这一过程，看似内容单一，线索简单，但确是整节课中规律探究方法的形成结构阶段。“语言是思维的外壳，是思维的工具”，教学过程中，请学生上讲台汇报研究成果，“想得清楚，才能说得明白”，有效促进其规律进一步内化，思维进一步清晰。同时引导学生经历了规律探索的完整过程：观察分析——提出猜想——举例验证——得出结论，并渗透了数形结合思想和符号化思想，形成规律探究的一般结构和方法，为探究提供研究参照和方法导引。】

2.运用结构，合作学习。

活动2：探索形内有2 枚钉子的多边形面积，（第②⑥图）与边上的钉子数又会有怎样的规律呢？

活动要求：（1） 把形内钉子数、多边形面积和边上钉子数填入表格中，认真观察，有什么猜想？（2）自己设计两个符合形内钉子数是2 枚的多边形，找到多边形面积和边上钉子数验证你的猜想；（3）把你的发现和同伴交流。

（生1 呈现作业并逐个交流数据，其他学生校对数据）

生2：我们还举了这样几个例子，都发现同样的结论，没有反例。

生3：我们发现的规律是，当多边形内2 枚钉子时，S=n÷2+1。

师：通过观察、猜想、举例、验证的研究方法，发现了多边形内有1 枚钉子时，S=n÷2；多边形内有2枚钉子时，S=n÷2+1。这两个规律相比，有什么相同和不同之处？

生：都有n÷2，不同的是一个还要加1。

师：是啊，当多边形内有2 枚钉子时，为什么再加1 呢？数形结合，我们看钉子板上的图。

师：（操作）原来边上的钉子就变成了形内的钉子。现在形内有2 枚钉子，面积有什么变化？

生：形内钉子数多1，面积增加了1 平方厘米。

师：另外两个图形也来变一变，看看面积有什么变化？

生：（操作）当形内由1 枚钉子变成2 枚，面积都比原来增加了1 平方厘米。

师：（继续操作）你接着又能联想到什么？（当多边形内3 枚钉子时，S=n÷2+2）继续想，再往下拉。S 和n 会有什么关系？（当多边形内4 枚钉子时，S=n÷2+3），再往下拉呢？（当多边形内5 枚钉子时，S=n÷2+4）

师：这三条规律（多边形内3、4、5 枚钉子时）都是我们的猜想。有了猜想，你准备怎么做？

【思考：研究形内有2 枚钉子数的情况是教学的难点，要能知其然且知其所以然。本次活动不仅停留在找到S=n÷2+1，形内钉子数看似仅是数量上增加了1，实际却是增加变量的一种研究，是更高层次的思维。学生主动调用活动1 的经验自主展开独立探究，学得积极，获得了深度理解的学习。从“点状”到“结构”，培养学生科学严谨的态度、深入探究的精神、细致观察的习惯，强化研究中的前提意识。】

3.巧用推理，充分验证。

活动3：探索内部是3、4、5 枚及以上钉子的多边形面积。

活动要求：（1）每个小组确定一个研究主题；（2）在点子图上再任意画一至两个符合主题的多边形；（3）算一算你画的多边形的面积，再用猜测的规律进行计算，看看结果是否相同；（4）小组成员间交流你的例子和发现，请组长汇总数据，汇报成果。

（学生活动交流）

师：多边形边上的钉子数仍用n 表示，当多边形内有100 枚钉子时，S=？再往下推想，多边形内有1000 枚钉子时，S=？如果形内的钉子数是a 枚呢？同桌交流。

生：S=n÷2+a-1。

师：当a＝1 时呢？符合这个规律吗？后面没有加上数啊？

生：当a＝1 时，就是S＝n÷2＋0。

师：研究形内有钉子的情况，我们了解了。形内没有钉子的时候，面积与边上钉子数有什么关系呢？你会研究吗？

（学生猜想）

师：为什么要减1？是这样吗？自己选一个图形口头验证一下。

（学生相互验证）

师：看来，当a＝0 时，S＝n÷2－1也符合这个规律。

小结：这个发现被称为皮克定理，该定理被誉为有史以来“最重要的100 个数学定理”之一。

三、提升思维活动经验，从“联”到“悟”

师：今天我们一起探索了钉子板上的多边形，回顾探究和发现规律的过程，你有什么体会？

生：钉子板上多边形的面积与形内钉子和形上钉子数之间都有关系。

生：多边形内钉子数用a 表示，边上钉子数用n 表示，我能总结成一个公式：S=n÷2+a-1。

生：我有补充，遇到复杂的问题，可以从简单想起。

生：要学会从不同的多边形中找到它们的相同点。

师：同学们真棒！恭喜大家通过自己的努力发现了规律，那么发现规律的过程中，让你感受最深的是什么？

生：要认真观察、反复比较。还要不断反思，不断验证。

师：是啊，发现规律是了不起的，能体会到发现规律的方法更厉害了，以后碰到新的规律，你会独立探索了吗？自主评价一下今天的表现：

理解规律（4 分）知道怎么探索规律的一般过程（4 分）遇到复杂问题会确定变量，从简单想起（3 分）认真倾听（3 分）思维活跃（3 分）积极回答（3 分）总分（20 分）

【思考：深度学习，不仅是教师的感受，更是学生的切身体会。探索活动可以掌握知识，回顾反思则能够将知识内化为自己的理解和思想。同时“多元收获”的有效引导，生生间的相互评价、补充，不仅让学生高屋建瓴把握规律，还帮助学生总结所经历的规律形成的过程，深切感悟了从简单想起等数学思想，提升了思维活动经验。最后让学生自主评价，促进学生学会自我反思、自主建构，并为后续的学习作经验的支撑。关注师生、生生评价，关注他评、自评，正因课堂中有实实在在的亲身体验，学生学得积极主动，自信满满。】